A palavra força é usada em nosso cotidiano com diversos significados. Em física, essa mesma palavra possui um significado próprio, diferente daqueles da linguagem do nosso dia a dia. As cinco frases seguintes, todas encontradas em textos literários ou jornalísticos, contêm a palavra força empregada em diversos contextos.
1. "As Forças Armadas estão de prontidão para defender as nossas fronteiras."
2. "Por motivo de força maior, o professor não poderá dar aula hoje."
3. "A força do pensamento transforma o mundo."
4. "A bola bateu na trave e voltou com mais força ainda."
5. "Tudo é atraído para o centro da Terra pela força da gravidade."
A abordagem científica do termo força aparece na frase
Nas frases 1, 2 e 3, a palavra "força" é empregada em sentidos figurados ou institucionais (força militar, força maior como expressão jurídica, força do pensamento como metáfora) — usos da linguagem cotidiana, sem relação com uma grandeza física mensurável.
Na frase 4, "força" é usada de modo vago, associada à intensidade do impacto da bola na trave, sem uma definição física precisa (poderia se referir à velocidade, à quantidade de movimento, ou à energia envolvida).
Já na frase 5, "força da gravidade" refere-se precisamente à força gravitacional, uma grandeza vetorial bem definida pela Física (Lei da Gravitação Universal de Newton), responsável por atrair os corpos para o centro da Terra. Esse é o único uso rigorosamente científico do termo entre as frases apresentadas.
Aquecedores elétricos utilizam resistência de fio, suportando uma corrente máxima dimensionada pelo fabricante. O dimensionamento original do circuito elétrico de um aquecedor, esquematizado na figura, foi utilizado para provocar a elevação de temperatura em um volume de água, durante um determinado intervalo de tempo.
Caso se pretenda utilizar uma tensão de 250 V, o circuito precisará ser redimensionado, para garantir o correto funcionamento do aquecedor. A corrente deve ser mantida, considerando-se o aquecimento do mesmo volume de água, à mesma temperatura, durante o mesmo intervalo de tempo.
Nesse redimensionamento, deve-se acrescentar ao circuito um resistor de
No circuito original, a tensão da fonte é $V_0=I\cdot R=4\,\text{A}\times40\,\Omega=160\,\text{V}$, e a potência dissipada (responsável pelo aquecimento da água) é $P=I^2R=4^2\times40=640\,\text{W}$.
Para manter exatamente o mesmo aquecimento (mesmo volume de água, mesma temperatura, mesmo intervalo de tempo), é preciso manter a mesma potência dissipada no resistor de $40\,\Omega$, o que exige manter a mesma corrente de $4\,\text{A}$ passando por ele.
Com a nova tensão de $250\,\text{V}$, a resistência total do circuito deve valer $R_{total}=\dfrac{250}{4}=62,5\,\Omega$. Como o resistor original de $40\,\Omega$ deve continuar sendo percorrido pela mesma corrente de $4\,\text{A}$ (ligação em série preserva a corrente), o resistor adicional deve valer $R_{add}=62,5-40=22,5\,\Omega$, ligado em série com o resistor original.
O ouvido humano apresenta algumas características interessantes. Uma delas é que existe uma intensidade mínima, ou limiar de audibilidade, $I_0$, abaixo da qual o som não é audível. O nível de audibilidade é a grandeza que quantifica a audibilidade (sensação) e sua unidade é o fon, medido em decibéis (dB). O gráfico contém, em escala logarítmica, curvas de igual audibilidade, isto é, cada curva representa uma mesma audibilidade para diferentes frequências.
Fonte: H. Fletcher and W. A. Munson, J.A.S.A., n. 5, 1933. MAGALHÃES, D. A.; ALVES FILHO, J. P. A discreta dança do ar ao som das equações da física acústica. Física na Escola, n. 16, 2018.
Considerando a frequência de 90 Hz, o menor nível de intensidade, em dB, para que possamos perceber algum som é, aproximadamente,
O menor nível de intensidade sonora capaz de ser percebido, para uma dada frequência, corresponde exatamente à curva de 0 fon (o limiar de audibilidade) naquela frequência — abaixo dela, o som existe fisicamente, mas não é audível ao ouvido humano.
Diferentemente do que ocorre na faixa central do gráfico (entre aproximadamente 1.000 Hz e 5.000 Hz, onde a curva de 0 fon atinge seu valor mínimo, próximo de 0 dB — região de maior sensibilidade do ouvido), em frequências mais baixas, como 90 Hz, o ouvido é bem menos sensível, e a curva de 0 fon sobe consideravelmente.
Lendo o gráfico no ponto correspondente a $90\,\text{Hz}$ sobre a curva de 0 fon, o nível de intensidade mínimo perceptível é de aproximadamente $40\,\text{dB}$.
A transferência de calor por radiação pode ser observada realizando-se a experiência de colocar a mesma quantidade de água quente em dois copos metálicos com as mesmas características, sendo que a superfície externa de um deles é pintada de preto (copo 1), e a do outro é espelhada (copo 2). Sabe-se que todo material emite e absorve energia radiante e que bons emissores são também bons absorvedores dessa energia.
Ao se colocar um termômetro dentro de cada copo observa-se, após alguns minutos, que a temperatura da água
Superfícies escuras e foscas são melhores absorvedoras e, por isso, também melhores emissoras de radiação térmica (Lei de Kirchhoff da radiação: bom absorvedor é bom emissor). Já superfícies espelhadas/polidas refletem a maior parte da radiação incidente e, por serem más absorvedoras, também são más emissoras.
Assim, o copo 1 (pintado de preto) perde calor por radiação com muito mais eficiência do que o copo 2 (espelhado), que tende a reter o calor por mais tempo, já que emite pouca radiação térmica.
Como consequência, a temperatura da água no copo 1 diminui mais rapidamente do que a temperatura da água no copo 2.
Os satélites em órbitas geoestacionárias ocupam uma posição fixa em relação à superfície da Terra e, por isso, podem ser usados como sistemas de comunicação. Pela limitação de espaço, o número de satélites que podem ser posicionados numa órbita é finito. O lançamento de um satélite geoestacionário envolve três etapas:
• Lança-se o satélite da base terrestre até uma órbita circular próxima (órbita $R_1$).
• No estágio de propulsão, aplica-se um impulso tangencial à trajetória no ponto A, mudando-se para uma órbita elíptica até o satélite atingir o ponto B, que coincide com o raio de sua órbita geoestacionária.
• No ponto B, efetua-se uma mudança para a órbita circular $R_2$, aplicando-se um impulso tangente à trajetória.
BEER, F. P. et al. Vector Mechanics: Static and Dynamic. Nova York: McGraw-Hill, 2009.
Identificando a órbita interna como $R_1$, a órbita geoestacionária como $R_2$ e a órbita elíptica como E, as energias mecânicas do satélite nas três órbitas são identificadas, respectivamente, como $E_1$, $E_2$ e $E_E$.
A relação de comparação entre as energias mecânicas do satélite nas três órbitas é
Para uma órbita (circular ou elíptica) em torno de um corpo central, a energia mecânica total do satélite depende apenas do semieixo maior $a$ da órbita, segundo $E=-\dfrac{GMm}{2a}$ — quanto maior o semieixo (órbita "maior"), menos negativa (maior) é a energia mecânica.
Na órbita circular interna, o semieixo maior é o próprio raio $R_1$; na órbita geoestacionária, é $R_2>R_1$; logo $E_2>E_1$ (energia menos negativa na órbita maior).
A órbita elíptica de transferência tem seu semieixo maior igual à média entre os raios das duas órbitas circulares que ela tangencia, $a_E=\dfrac{R_1+R_2}{2}$, um valor intermediário entre $R_1$ e $R_2$. Assim, sua energia mecânica $E_E$ também é intermediária: $E_1 Reescrevendo na ordem decrescente: $E_2>E_E>E_1$.
Um cronômetro eletrônico de precisão importado é utilizado para realizar medidas em um laboratório de pesquisa. No manual do equipamento, constam as tensões (110 V/220 V) da rede elétrica para as quais o equipamento foi calibrado. O manual também informa que a precisão do aparelho está relacionada a um circuito eletrônico interno que realiza a contagem dos ciclos da tensão da rede elétrica. O técnico do laboratório testa a calibragem do equipamento realizando a medida de um evento padrão cuja duração é de 60 segundos, mas observa que o intervalo de tempo indicado na tela do cronômetro é diferente. Com isso, percebe que, no laboratório de pesquisa, a rede elétrica opera a uma frequência de 60 Hz.
Nessa situação, a indicação do intervalo de tempo na tela do cronômetro, em segundo, é
O cronômetro mede o tempo contando ciclos da tensão da rede elétrica, e seu circuito interno foi calibrado assumindo que cada ciclo corresponde a $\dfrac{1}{50}\,\text{s}$ (frequência padrão europeia informada no manual). No entanto, a rede elétrica do laboratório opera de fato a $60\,\text{Hz}$, ou seja, os ciclos chegam mais rapidamente do que o cronômetro espera.
Em $60\,\text{s}$ reais, o número de ciclos realmente produzidos pela rede de $60\,\text{Hz}$ é $N=60\,\text{Hz}\times60\,\text{s}=3\,600$ ciclos.
Como o cronômetro (equivocadamente) atribui a cada ciclo contado uma duração de $\dfrac{1}{50}\,\text{s}$, o tempo que ele exibirá na tela é $t_{indicado}=3\,600\times\dfrac{1}{50}=72\,\text{s}$.
A suspensão de um automóvel funciona como um sistema massa-mola amortecido cuja função é reduzir a amplitude de oscilação do automóvel. Esse sistema pode ser caracterizado por uma frequência de oscilação $w_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}$, em que $k$ é a constante elástica da mola e $m$ é a massa total do sistema formado por mola, amortecedor, pneu e roda.
A suspensão do automóvel é originalmente dimensionada para que a relação entre $w_0$ e um parâmetro fixo $b$ seja: $w_0=b$, quando não há oscilação do automóvel e o sistema volta à posição original rapidamente.
Porém, seu amortecimento pode ser determinado também por outras duas relações entre $w_0$ e $b$: $w_0>b$, quando o sistema oscila algumas vezes até parar; $w_0 Por questões estéticas, o proprietário de um automóvel reduz à metade o comprimento original das molas de sua suspensão e troca rodas e pneus, de modo a manter a mesma massa total do sistema. Os demais componentes permanecem inalterados. Como essas alterações modificam a oscilação do sistema?
Para uma mola helicoidal, a constante elástica $k$ é inversamente proporcional ao seu comprimento (uma mola mais curta do mesmo material e mesma seção transversal é mais "dura", ou seja, tem $k$ maior). Ao reduzir o comprimento da mola à metade, a constante elástica $k$ aumenta.
Como a massa total do sistema é mantida constante (mesma massa, apenas rodas e pneus diferentes com a mesma massa total), o aumento de $k$ faz a frequência natural $w_0=\sqrt{k/m}$ aumentar, tornando-se maior do que o parâmetro fixo $b$ (originalmente $w_0=b$).
Pela classificação dada no enunciado, a condição $w_0>b$ corresponde ao regime em que o sistema oscila algumas vezes antes de parar (sistema subamortecido). Logo, a suspensão modificada passa a oscilar, o que compromete o conforto e a segurança do veículo.
Uma equipe de pesquisadores interessados em estudar a concentração de ozônio em uma região da atmosfera planeja enviar um balão para captar dados meteorológicos a 20.000 m de altitude. Para recuperar os dados captados pelo dispositivo de medida, o balão precisa estourar quando atingir a altitude desejada e retornar ao solo, o que ocorrerá quando seu volume atingir o valor limite a partir do qual não há mais expansão. As figuras mostram a forma do balão e como a temperatura e a pressão atmosférica variam com a altitude em relação ao nível do mar.
Para essa situação, considere-se o gás dentro do balão e os gases atmosféricos como gases ideais. Assume-se também que a pressão interna ao balão depende somente da pressão atmosférica.
Quantas vezes o raio do balão deve aumentar para captar os dados meteorológicos desejados?
Como o gás dentro do balão é ideal e a quantidade de matéria (número de mols) permanece constante entre o lançamento (nível do mar) e a altitude de $20\,000\,\text{m}$, vale a lei geral dos gases: $\dfrac{P_0V_0}{T_0}=\dfrac{P_{20}V_{20}}{T_{20}}$, ou seja, $\dfrac{V_{20}}{V_0}=\dfrac{P_0}{P_{20}}\cdot\dfrac{T_{20}}{T_0}$.
Lendo os gráficos fornecidos: ao nível do solo, $P_0\approx100\,\text{kPa}$ e $T_0\approx300\,\text{K}$; a $20\,000\,\text{m}$ de altitude, $P_{20}\approx10\,\text{kPa}$ e $T_{20}\approx240\,\text{K}$.
Substituindo: $\dfrac{V_{20}}{V_0}=\dfrac{100}{10}\times\dfrac{240}{300}=10\times0,8=8$.
Como o volume de uma esfera é $V=\dfrac{4}{3}\pi r^3$ (proporcional ao cubo do raio), a razão entre os raios é $\dfrac{r_{20}}{r_0}=\left(\dfrac{V_{20}}{V_0}\right)^{1/3}=8^{1/3}=2$.
Logo, o raio do balão deve dobrar (aumentar 2 vezes) para que ele estoure na altitude desejada.
Um experimento foi montado com o intuito de determinar o tempo de queda livre de corpos com tamanhos e massas distintas. Para isso, utilizou-se uma prateleira a 50,0 cm do chão, onde foram colocadas três frutas, conforme a figura. Em um determinado instante, a prateleira foi removida, liberando todas as frutas simultaneamente.
Considere o tempo de queda da melancia como $t_1$, do melão como $t_2$ e da maçã como $t_3$.
Desprezando-se as forças dissipativas, a relação entre os tempos de queda das frutas é
Desprezando-se as forças dissipativas (como a resistência do ar), todos os corpos em queda livre próximos à superfície da Terra experimentam a mesma aceleração gravitacional $g$, independentemente de sua massa ou de seu tamanho — resultado clássico já demonstrado por Galileu.
Como as três frutas partem do repouso, da mesma altura ($50,0\,\text{cm}$), e estão sujeitas à mesma aceleração $g$, o tempo de queda de cada uma é dado pela mesma expressão $h=\dfrac{g t^2}{2}\Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$, que não depende da massa nem do tamanho do corpo.
Portanto, as três frutas atingem o chão exatamente ao mesmo tempo: $t_1=t_2=t_3$.
A utilização de fusíveis em equipamentos eletrônicos é fundamental para a sua preservação. De forma simplificada, esse dispositivo é composto de terminais metálicos, conectados por um fio condutor envolvido por um corpo de vidro, como ilustrado na figura. A passagem de corrente elétrica gera calor por efeito Joule, o que provoca um aumento local na temperatura. Considere que são necessários, em média, 4 A de corrente para a elevação da temperatura em 1 °C. As temperaturas de fusão dos diferentes materiais são apresentadas a seguir.
| Material | Fr | Sn | Zn | Ag | Si |
|---|---|---|---|---|---|
| Temperatura de fusão (°C) | 27 | 232 | 420 | 960 | 1 400 |
Para um equipamento que deve operar com uma corrente menor que 1 000 A, o material adequado para o fusível é o(a)
Como cada $4\,\text{A}$ de corrente elevam a temperatura do fio em $1\,^\circ\text{C}$, a corrente necessária para que o fio atinja a temperatura de fusão de um dado material é $I=4\times T_{fusão}$.
Calculando para cada material: Frâncio, $I=4\times27=108\,\text{A}$ (funde com corrente muito baixa, "queimaria" o fusível quase de imediato); Estanho, $I=4\times232=928\,\text{A}$; Zinco, $I=4\times420=1\,680\,\text{A}$; Prata, $I=4\times960=3\,840\,\text{A}$; Silício, $I=4\times1\,400=5\,600\,\text{A}$.
Para proteger um equipamento que deve operar normalmente com corrente menor que $1\,000\,\text{A}$, o fusível ideal é aquele que funde (interrompe o circuito) o mais próximo possível — mas ainda abaixo — desse limite de segurança, sem comprometer a operação normal do equipamento. Entre as opções, o estanho funde a $928\,\text{A}$, o valor mais próximo e abaixo de $1\,000\,\text{A}$, sendo o material mais adequado.
Tendo em vista a necessidade de economia de energia elétrica, os climatizadores de ar surgem como uma alternativa econômica. Esses dispositivos utilizam a evaporação da água como método de troca de calor, conforme esquematizado na figura.
O ar externo (quente) é aspirado para o interior do painel evaporativo e, em contato com a água fria, tem sua temperatura diminuída. Umidificado e mais frio, o ar é empurrado pelo ventilador ao ambiente interno. Quanto maior é a redução de temperatura produzida pelo climatizador, maior é a sua eficiência. A Tabela 1 apresenta a redução de temperatura produzida por um desses aparelhos, em função da temperatura de entrada do ar e de sua umidade relativa (UR) percentual; enquanto a Tabela 2 apresenta os valores médios de temperatura (T) e os valores da UR do ar de cinco cidades brasileiras, no mês de setembro.
| Tabela 1 | Temperatura de entrada do ar (°C) | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 25,5 | 26,0 | 26,5 | 27,0 | 27,5 | 28,0 | 28,5 | ||
| Umidade relativa (%) | 30 a 39 | 8,6 | 8,7 | 8,8 | 9,0 | 9,1 | 9,2 | 9,4 |
| 40 a 49 | 7,1 | 7,2 | 7,3 | 7,4 | 7,5 | 7,6 | 7,8 | |
| 50 a 59 | 5,6 | 5,7 | 5,8 | 5,9 | 6,0 | 6,1 | 6,2 | |
| 60 a 69 | 4,5 | 4,6 | 4,6 | 4,7 | 4,7 | 4,8 | 4,8 | |
| 70 a 80 | 2,5 | 2,5 | 2,5 | 2,5 | 2,6 | 2,6 | 2,6 | |
| Tabela 2 — Cidade | T (°C) | UR (%) |
|---|---|---|
| Barbalha (CE) | 26,0 | 58 |
| Belém (PA) | 27,5 | 75 |
| Cáceres (MT) | 28,5 | 51 |
| Corumbá (MS) | 27,0 | 52 |
| Janaúba (MG) | 25,5 | 40 |
Disponível em: https://pt.climate-data.org; www.brizztech.com.br. Acesso em: 25 nov. 2021 (adaptado).
Considerando os dados apresentados para o mês de setembro, em qual destas cidades o climatizador de ar é mais eficiente?
Cruzando os dados de cada cidade (Tabela 2) com a Tabela 1 de redução de temperatura: Barbalha ($26,0\,^\circ\text{C}$, UR $58\%$, faixa "50 a 59") → redução $4,6\,^\circ\text{C}$; Belém ($27,5\,^\circ\text{C}$, UR $75\%$, faixa "70 a 80") → redução $2,6\,^\circ\text{C}$; Cáceres ($28,5\,^\circ\text{C}$, UR $51\%$, faixa "50 a 59") → redução $6,2\,^\circ\text{C}$; Corumbá ($27,0\,^\circ\text{C}$, UR $52\%$, faixa "50 a 59") → redução $5,9\,^\circ\text{C}$; Janaúba ($25,5\,^\circ\text{C}$, UR $40\%$, faixa "40 a 49") → redução $7,1\,^\circ\text{C}$.
Quanto maior a redução de temperatura produzida, maior a eficiência do climatizador — o que ocorre justamente quando o ar de entrada está mais seco (menor umidade relativa), pois há mais "espaço" para a evaporação da água acontecer e retirar calor do ar.
Dentre as cidades listadas, Janaúba apresenta a maior redução de temperatura ($7,1\,^\circ\text{C}$), sendo, portanto, a cidade em que o climatizador de ar é mais eficiente.
Quando utilizadas na iluminação pública noturna, as lâmpadas de LED brancas produzem uma luz branco-azulada, cujo brilho difuso dificulta a observação das estrelas, que também chegam aos nossos olhos como luz azulada. Por isso, esse tipo de iluminação pública pode ser considerado uma nova forma de poluição: a "poluição azul", que afeta a dinâmica de várias espécies.
A cidade de Flagstaff, nos Estados Unidos, foi uma das pioneiras na resolução dessa questão. Embora sua iluminação pública seja feita com lâmpadas de LED brancas, a cidade tomou medidas para impedir o brilho azulado. Conforme estudos de uma equipe de cientistas australianos, com a aplicação de um material, é possível alterar a transmissão das frequências indesejadas, mantendo a intensidade total da lâmpada. As figuras do estudo indicam: o espectro de emissão correspondente a uma lâmpada LED branca (A); o espectro de emissão correspondente a uma lâmpada LED branca coberta com o material do estudo (B).
DIMOVSKI, A. M.; ROBERT, K. A. Artificial Light Pollution: Shifting Spectral Wavelengths to Mitigate Physiological and Health Consequences in a Nocturnal Marsupial Mammal. J. Exp. Zool., n. 329, 2018 (adaptado).
Nesse estudo, o material utilizado na cobertura
Comparando os dois espectros, o pico estreito na região azul (~450 nm), presente no espectro (A), desaparece completamente no espectro (B), enquanto o pico na região amarelo-alaranjada (~600-650 nm) fica maior e mais largo — e a intensidade total (área sob a curva) permanece a mesma, conforme informado no enunciado.
Isso indica que o material não apenas bloqueia ou reflete a luz azul (o que reduziria a intensidade total, sem realçar outra faixa), mas sim absorve os fótons azuis e os reemite em comprimentos de onda maiores, na faixa amarelo-alaranjada — um processo de conversão de energia luminosa característico de materiais fotoluminescentes (fósforos conversores).
Esse mecanismo de absorção do azul com reemissão em amarelo-alaranjado explica tanto o desaparecimento do pico azul quanto o reforço do pico na faixa mais avermelhada do espectro (B), preservando a intensidade total da luz emitida.
Na fissão do urânio-235, esse átomo é dividido em átomos mais leves quando bombardeado por um nêutron.
Nos reatores nucleares, novas reações ocorrem a partir dos nêutrons liberados na fissão, caracterizando uma reação em cadeia. Essa reação é mais eficiente quando esses nêutrons têm energia cinética baixa. Por isso, se utiliza uma substância moderadora na qual os nêutrons possam colidir, transferindo parte da energia.
Considere que essas colisões são frontais e aproximadamente elásticas, que a substância moderadora é um alvo em repouso e que as velocidades dos nêutrons, $v_{nf}$, e da substância moderadora, $v_{sf}$, após a colisão, são:
$v_{nf}=\left(\dfrac{m_n-m_s}{m_n+m_s}\right)v_0 \qquad v_{sf}=\left(\dfrac{2m_n}{m_n+m_s}\right)v_0$
em que $m_n$ é a massa do nêutron, $m_s$ é a massa da substância moderadora e $v_0$ é a velocidade inicial do nêutron.
A substância moderadora que promoverá a maior redução de velocidade dos nêutrons, nesse processo de colisão, será:
Analisando a expressão $v_{nf}=\left(\dfrac{m_n-m_s}{m_n+m_s}\right)v_0$, a redução de velocidade do nêutron é tanto maior quanto mais próximo de zero (em módulo) for o fator $\dfrac{m_n-m_s}{m_n+m_s}$ — o que ocorre quando a massa da substância moderadora, $m_s$, é a mais próxima possível da massa do nêutron, $m_n\approx1\,\text{u}$ (no caso limite $m_s=m_n$, o nêutron para completamente após a colisão, transferindo toda sua energia cinética).
Comparando as massas atômicas das opções — deutério ($^2_1$D, massa $\approx2\,\text{u}$), hélio-4 ($\approx4\,\text{u}$), carbono-12 ($\approx12\,\text{u}$), nitrogênio-14 ($\approx14\,\text{u}$) e estrôncio-94 ($\approx94\,\text{u}$) —, o deutério é o núcleo com massa mais próxima da massa do nêutron, sendo, portanto, o moderador mais eficiente para reduzir a velocidade (e a energia cinética) dos nêutrons.
Ao realizar os preparativos para o Natal, uma pessoa resolveu aumentar o número de lâmpadas incandescentes de um pisca-pisca que originalmente tinha 20 lâmpadas associadas em paralelo, cada uma com resistência $R$. Adicionou outras 20 lâmpadas com as mesmas especificações e também em paralelo. O circuito passou a ser composto por 40 lâmpadas em paralelo e uma fonte de resistência interna $r$. A corrente total do circuito com 40 lâmpadas é proporcional à corrente do circuito com 20 lâmpadas, ou seja, $i_{40}=\alpha\cdot i_{20}$. Ao ligar o sistema, ela observou que o brilho das lâmpadas diminuiu com fator de proporcionalidade igual a $\alpha^2$.
Qual é o fator $\alpha$, utilizado para a obtenção da redução do brilho em cada lâmpada?
Com $N$ lâmpadas idênticas de resistência $R$ associadas em paralelo, a resistência externa equivalente é $\dfrac{R}{N}$. A corrente total fornecida pela fonte (de resistência interna $r$) é, pela Lei de Ohm generalizada, $i_N=\dfrac{\varepsilon}{\frac{R}{N}+r}$, em que $\varepsilon$ é a força eletromotriz da fonte.
Assim, $i_{20}=\dfrac{\varepsilon}{\frac{R}{20}+r}$ e $i_{40}=\dfrac{\varepsilon}{\frac{R}{40}+r}$.
O fator de proporcionalidade entre as correntes totais é $\alpha=\dfrac{i_{40}}{i_{20}}=\dfrac{\varepsilon/\left(\frac{R}{40}+r\right)}{\varepsilon/\left(\frac{R}{20}+r\right)}=\dfrac{\frac{R}{20}+r}{\frac{R}{40}+r}$.
Fisicamente, ao dobrar o número de lâmpadas em paralelo, a resistência externa cai, a corrente total fornecida pela fonte aumenta, e isso aumenta a queda de tensão sobre a resistência interna $r$ — reduzindo a tensão que chega a cada lâmpada e, portanto, o seu brilho, na proporção $\alpha^2$ informada no enunciado.