Usinas hidrelétricas convertem energia mecânica em energia elétrica, que depois é transportada por linhas de transmissão até residências, indústrias etc.
a) A potência aproximada da usina hidrelétrica de Itaipu, a maior do Brasil, é de 15 GW. A potência dissipada por um aparelho de TV em modo de espera (stand by) é de cerca de 6 W. Supondo que, em média, cada um dos cerca de 75 milhões de domicílios brasileiros tenha 1 aparelho de TV em modo de espera, que percentagem da potência de Itaipu é consumida apenas para manter TVs brasileiras nesse modo?
b) Uma versão simples de usina hidrelétrica utiliza a queda livre da água para girar uma turbina. Supondo que a água inicie, praticamente do repouso, uma queda de 20 m até a turbina, com que velocidade a água atinge a turbina?
c) O impulso da água faz girar a turbina, que por sua vez aciona um gerador. A presença de um campo magnético no gerador em movimento leva ao surgimento de uma força eletromotriz que varia no tempo. Após o transporte da eletricidade até uma residência, o gráfico da força eletromotriz tem o aspecto mostrado na figura a seguir.
Gráfico da força eletromotriz (fem) em função do tempo, conforme a prova.
Se conectarmos à tomada da residência um ferro de passar com um resistor ôhmico de 40 Ω, qual será a máxima corrente elétrica que percorrerá o resistor do ferro durante sua operação?
a) Potência total consumida pelas TVs em stand by: $P_{TV}=6\,\text{W}\times75\times10^6=4,5\times10^8\,\text{W}$. A percentagem em relação a Itaipu ($15\,\text{GW}=1,5\times10^{10}\,\text{W}$) é $\dfrac{4,5\times10^8}{1,5\times10^{10}}=0,03=3\%$.
b) Queda livre a partir do repouso, $h=20\,\text{m}$: $v=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\times10\times20}=\sqrt{400}=20\,\text{m/s}$.
c) Pelo gráfico, a amplitude (valor máximo) da fem é $180\,\text{V}$. Como o resistor é ôhmico, a corrente máxima ocorre junto com a tensão máxima: $I_{máx}=\dfrac{V_{máx}}{R}=\dfrac{180}{40}=4,5\,\text{A}$.
O telescópio espacial James Webb lançado em 2021 é, em muitos sentidos, um aprimoramento do antigo telescópico Hubble. Uma das diferenças mais notáveis está nas dimensões e nas propriedades ópticas dos espelhos principais destes dois telescópios. Por exemplo: enquanto o espelho principal do Hubble tem uma distância focal de aproximadamente 58 m, a distância focal do espelho principal do James Webb é de aproximadamente o dobro (131 metros). Tratando de maneira aproximada o funcionamento destes telescópios, consideraremos aqui a reflexão por somente um espelho esférico.
Suponha um sistema binário de estrelas separadas por uma distância $H$, e localizado a uma distância $D$ do espelho do telescópio que as observa, conforme mostra a figura. A distância entre o foco do espelho (ponto $F$) e o vértice do espelho (ponto $V$) é a chamada distância focal do espelho ($d_f$).
Esquema do espelho esférico côncavo do telescópio observando o sistema binário A–B, conforme a prova.
a) Dois raios luminosos ("raio 1" e "raio 2") partindo da estrela A atingem o espelho. O "raio 1" é paralelo ao eixo do espelho, enquanto o "raio 2" passa pelo ponto $F$. Trace os raios refletidos pelo espelho (raio 1: paralelo ao eixo, reflete passando por $F$; raio 2: passa por $F$, reflete paralelo ao eixo).
Figura da folha de respostas para o traçado dos raios refletidos (item a).
b) Considere que o sistema está sendo observado pelo telescópio Hubble, para o qual $d_f=d$. Calcule a razão $A=\dfrac{H_I}{H}$ onde $H_I$ é a distância entre as imagens das estrelas formadas pelo espelho. Essa razão é também chamada de "aumento" do espelho, embora esta razão possa ser menor do que 1. Expresse sua resposta em termos de $D$ e $d$.
c) Considere agora que o sistema esteja sendo observado pelo telescópio James Webb, para o qual $d_f=2d$. Calcule a razão entre os aumentos dos dois espelhos. Expresse sua resposta em termos de $D$ e $d$.
Para espelhos esféricos, o inverso da distância focal é igual à soma do inverso da distância do objeto com o inverso da distância em que a imagem se forma (todas em relação ao centro do espelho).
a) Pelas propriedades dos raios notáveis em espelhos esféricos: o raio 1, paralelo ao eixo principal, reflete passando pelo foco $F$; o raio 2, que incide passando por $F$, reflete paralelamente ao eixo principal. Os dois raios refletidos se encontram no ponto onde se forma a imagem da estrela A.
b) Como as estrelas estão muitíssimo distantes ($D\gg d_f$), a imagem se forma praticamente no plano focal: $\dfrac{1}{d_f}=\dfrac{1}{D}+\dfrac{1}{i} \Rightarrow i\approx d_f=d$. O aumento (razão entre tamanhos da imagem e do objeto, por semelhança de triângulos no espelho) é $A=\dfrac{H_I}{H}=\dfrac{i}{D}=\dfrac{d}{D}$.
c) Para o James Webb, $d_f=2d$, logo, pelo mesmo raciocínio, $i'\approx2d$ e o aumento é $A'=\dfrac{2d}{D}$. A razão entre os aumentos é $\dfrac{A'}{A}=\dfrac{2d/D}{d/D}=2$: o James Webb produz uma imagem com o dobro do aumento do Hubble, consistente com sua distância focal ser o dobro da do Hubble.
Considere um mergulhador em um lago de águas calmas.
a) Esse mergulhador possui massa de 75 kg e volume corporal de 70 L. Para um mergulho, ele acopla a si um cilindro de ar de 15 kg e volume de 10 L. Estando completamente imersos na água (mergulhador e cilindro), o mergulhador para de nadar. Ele afundará ou subirá até a superfície? Justifique a sua resposta.
b) Durante um mergulho, o mergulhador consulta seu manômetro de pulso e verifica que a pressão absoluta local é de 2,0 atm. A que profundidade o mergulhador está?
c) Finalmente, considere que o mergulhador está no fundo do lago, onde a temperatura da água é de 7°C e a pressão é de 2,8 atm. Ele produz uma bolha de ar de volume $V_1$, que sobe em direção à superfície. Quando a bolha houver subido até a iminência de atingir a superfície, onde a temperatura da água é 27°C, seu volume será $V_0$. Determine a razão $V_0/V_1$.
Adote como aceleração da gravidade o valor $10\,\text{m/s}^2$ e como densidade da água o valor $1,0\times10^3\,\text{kg/m}^3$ e utilize $1,0\,\text{atm}=1,0\times10^5\,\text{Pa}$.
Trate o ar na bolha como um gás ideal e suponha que não escape ar da bolha durante a subida.
a) Massa total: $75+15=90\,\text{kg}$. Volume total: $70+10=80\,\text{L}$. Densidade média do conjunto: $\dfrac{90}{80}=1,125\,\text{kg/L}$, maior do que a densidade da água ($1,0\,\text{kg/L}$). Como o conjunto é mais denso do que a água, o empuxo não equilibra o peso, e o mergulhador afundará.
b) $P_{abs}=P_{atm}+\rho g h \Rightarrow 2,0\times10^5=1,0\times10^5+1000\times10\times h \Rightarrow h=\dfrac{1,0\times10^5}{10^4}=10\,\text{m}$.
c) Pela equação geral dos gases ideais (mesma quantidade de ar na bolha, $n$ constante): $\dfrac{P_1V_1}{T_1}=\dfrac{P_0V_0}{T_0} \Rightarrow \dfrac{V_0}{V_1}=\dfrac{P_1}{P_0}\cdot\dfrac{T_0}{T_1}$. Com $P_1=2,8\,\text{atm}$, $P_0\approx1,0\,\text{atm}$ (próximo à superfície), $T_1=280\,\text{K}$ e $T_0=300\,\text{K}$: $\dfrac{V_0}{V_1}=\dfrac{2,8}{1,0}\times\dfrac{300}{280}=2,8\times\dfrac{15}{14}=3,0$.
Um circuito é formado por dois resistores em paralelo imersos no vácuo, separados por uma distância $d$ ligados a uma bateria de força eletromotriz $V$. Cada resistor é formado por um fio muito longo, de mesmo comprimento e área de seção transversal, mas com resistividades elétricas $\rho_1$ e $\rho_2$ diferentes entre si, conforme ilustrado na figura.
Esquema dos dois resistores em paralelo (fios 1 e 2), separados por $d$, com o ponto $C$ equidistante entre eles.
a) Sendo $P_1$ e $P_2$ as potências dissipadas nos resistores 1 e 2, respectivamente, calcule a razão $P_1/P_2$. Expresse sua resposta em termos de $\rho_1$ e $\rho_2$.
b) Considerando que a corrente total no circuito seja $I$, obtenha, em função de $I$, $\rho_1$ e $\rho_2$, o valor das correntes $I_1$ e $I_2$ que atravessam os resistores 1 e 2, respectivamente.
c) Obtenha a expressão para o módulo do campo magnético no ponto $C$, mostrado na figura, equidistante dos dois resistores, considerando $I_1=I_2/4$. Expresse sua resposta somente em termos de $d$, $\mu_0$ (constante de permeabilidade magnética do vácuo) e da corrente total $I$.
a) Como os resistores estão em paralelo, ambos têm a mesma ddp $V$ em seus terminais. A resistência de cada fio é $R=\rho L/A$ (mesmos $L$ e $A$ para os dois). A potência dissipada é $P=V^2/R$, logo $\dfrac{P_1}{P_2}=\dfrac{R_2}{R_1}=\dfrac{\rho_2}{\rho_1}$.
b) Como $V_1=V_2$ (paralelo): $I_1R_1=I_2R_2 \Rightarrow I_1\rho_1=I_2\rho_2$. Com $I_1+I_2=I$: $I_1=\dfrac{I\rho_2}{\rho_1+\rho_2}$ e $I_2=\dfrac{I\rho_1}{\rho_1+\rho_2}$.
c) Com $I_1=I_2/4$ e $I_1+I_2=I$: $I_2=\dfrac{4I}{5}$ e $I_1=\dfrac{I}{5}$. Os dois fios conduzem corrente no mesmo sentido; pela regra da mão direita, os campos que cada fio cria no ponto $C$ (equidistante, a $d/2$ de cada fio) apontam em sentidos opostos. O campo resultante é a diferença entre os módulos: $B_C=\dfrac{\mu_0 I_2}{2\pi(d/2)}-\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi(d/2)}=\dfrac{\mu_0(I_2-I_1)}{\pi d}=\dfrac{\mu_0\left(\frac{4I}{5}-\frac{I}{5}\right)}{\pi d}=\dfrac{3\mu_0I}{5\pi d}$.
O efeito Doppler é caracterizado pela detecção de uma frequência diferente daquela emitida pela fonte, devido ao movimento relativo entre fonte e observador. Ele possui diversas aplicações, seja na medicina, astronomia ou ainda em sonares de velocidade, nos quais a velocidade de um objeto é medida comparando-se a frequência sonora emitida com aquela que é detectada.
Considere um sonar de velocidade que envia ondas sonoras de 0,10 MHz em direção a um veículo que se aproxima com velocidade desconhecida.
a) Calcule o comprimento de onda emitido pelo sonar.
b) Suponha que exista um detector de ondas sonoras no carro. Calcule a frequência detectada por este detector considerando que o carro se aproxima do sonar com velocidade de 30 m/s.
c) Encontre a velocidade do veículo sabendo que o sonar detecta uma frequência de 0,15 MHz refletida de volta, do carro para o sonar.
No efeito Doppler, a frequência $f_d$ detectada pelo observador e a frequência $f_e$ emitida pela fonte se relacionam de acordo com a expressão: $\dfrac{f_d}{v_s\pm v_d}=\dfrac{f_e}{v_s\pm v_e}$, onde $v_s$ é a velocidade do som, $v_d$ é a velocidade do observador e $v_e$ é a velocidade da fonte de emissão. Os sinais "+" e "−" são escolhidos de acordo com o movimento relativo entre fonte e observador.
a) $\lambda=\dfrac{v_s}{f_e}=\dfrac{300}{0,10\times10^6}=3\times10^{-3}\,\text{m}=3\,\text{mm}$.
b) O carro (observador) se aproxima da fonte parada (sonar): $f_d=f_e\cdot\dfrac{v_s+v_d}{v_s}=0,10\times\dfrac{300+30}{300}=0,10\times1,1=0,11\,\text{MHz}$.
c) Agora o carro reflete o som, funcionando como uma fonte que se aproxima do sonar (parado). Primeiro, o carro "recebe" a onda como observador em movimento a uma velocidade $v$: $f'=f_e\cdot\dfrac{v_s+v}{v_s}$. Em seguida, o carro reemite essa frequência como uma fonte que se aproxima do sonar: $f_d=f'\cdot\dfrac{v_s}{v_s-v}$. Substituindo: $f_d=f_e\cdot\dfrac{v_s+v}{v_s-v}$. Com $f_d=0,15\,\text{MHz}$ e $f_e=0,10\,\text{MHz}$: $0,15(300-v)=0,10(300+v) \Rightarrow 45-0,15v=30+0,10v \Rightarrow 15=0,25v \Rightarrow v=60\,\text{m/s}$.
Em artigo publicado em 2022, uma física e um físico brasileiros propuseram uma interessante analogia entre congestionamentos de carros e a física de buracos negros (Luanna K. de Souza, George E. A. Matsas, "Black-hole analog in vehicular traffic", American J. of Phys. 90, 692 (2022)).
Considere uma fila de 9 carros inicialmente em posições $x_0,x_1,x_2,\dots,x_8$ separados um do outro por uma distância $D$ e se movendo com velocidade constante $v$ na direção negativa de um eixo x.
No instante inicial, o carro 0 freia, acionando sua luz de freio. Após um tempo de reação $T_1$, o carro 1 freia, acionando agora a sua luz de freio. O carro 2, por sua vez, freia e aciona sua luz de freio um tempo $T_2$ após o carro 1 acionar a sua luz de freio e assim sucessivamente.
Para este problema, considere que no instante da primeira frenagem (instante inicial): (i) o carro 0 esteja localizado na origem ($x_0=0$); (ii) a distância entre os carros seja de $D=20\,\text{m}$; e (iii) todos os carros tenham a mesma velocidade escalar $|\vec{v}|=v_{ini}$.
a) Dada a velocidade $v_{ini}=72\,\text{km/h}$, calcule o tempo de reação máximo $T_{máx}$ para que não ocorram colisões entre quaisquer dois carros.
Texto para os itens (b) e (c): Em geral, os tempos de reação dos motoristas não são iguais. Considere a tabela a seguir, que mostra os tempos de reação $T_1,T_2,\dots,T_8$ (em segundos):
| Índice j | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| T_j (s) | 4,5 | 2,3 | 1,6 | 1,0 | 0,90 | 0,75 | 0,64 | 0,56 |
Se o tempo de reação de um dado carro for maior que $T_{máx}$, este carro inevitavelmente irá colidir com o carro da frente. Em uma analogia proposta pelos autores do artigo, este carro entra no "horizonte de eventos" de um "buraco negro veicular".
b) Suponha agora uma outra velocidade $v_{ini}$ tal que $T_{máx}=0,89\,\text{s}$. Utilizando os dados da tabela, determine, em metros, a posição do "horizonte de eventos", ou seja, a posição $x_H$ tal que todos os carros com posição inicial $x_j\le x_H$ inevitavelmente colidirão com o carro da frente.
c) Calcule o intervalo de velocidades $v_{ini}$ compatível com $x_H=60\,\text{m}$.
a) Como todos os carros freiam com o mesmo perfil de desaceleração (mesma distância de frenagem $s=v_{ini}^2/2a$), o carro $j$, ao reagir com atraso $T_j$ em relação ao carro $j-1$, percorre um trecho extra a velocidade constante $v_{ini}$ durante esse atraso antes de começar a desacelerar do mesmo jeito que o carro da frente. O fechamento do intervalo entre os dois carros, uma vez que ambos parem, vale $\Delta=v_{ini}T_j$ (o termo com a desaceleração $a$ se cancela). Não há colisão se $\Delta\le D$, ou seja, $T_j\le\dfrac{D}{v_{ini}}=T_{máx}$. Com $v_{ini}=72\,\text{km/h}=20\,\text{m/s}$ e $D=20\,\text{m}$: $T_{máx}=\dfrac{20}{20}=1\,\text{s}$.
b) Com $T_{máx}=0,89\,\text{s}$, colidem os carros com $T_j>0,89\,\text{s}$: $T_1=4,5$, $T_2=2,3$, $T_3=1,6$, $T_4=1,0$ e $T_5=0,90$ (todos $>0,89$). Já $T_6=0,75<0,89$ não colide. O último carro que inevitavelmente colide é o carro 5, na posição $x_5=5D=5\times20=100\,\text{m}$. Logo, $x_H=100\,\text{m}$.
c) Para $x_H=60\,\text{m}$ (posição do carro 3), o carro 3 deve colidir ($T_3>T_{máx}$) e o carro 4 não deve colidir ($T_4\le T_{máx}$): $T_4\le T_{máx}