Um contêiner com equipamentos científicos é mantido em uma estação de pesquisa na Antártida. Ele é feito com material de boa isolação térmica e é possível, com um pequeno aquecedor elétrico, manter sua temperatura interna constante, $T_i=20^\circ\text{C}$, quando a temperatura externa é $T_e=-40^\circ\text{C}$. As paredes, o piso e o teto do contêiner têm a mesma espessura, $\varepsilon=26\text{ cm}$, e são de um mesmo material, de condutividade térmica $k=0{,}05\text{ J}/(\text{s}\cdot\text{m}\cdot{}^\circ\text{C})$. Suas dimensões internas são $2\times3\times4\text{ m}^3$. Para essas condições, determine
a) A superfície interna do paralelepípedo é:
$A=2(ab+ac+bc)=2(2\cdot3+2\cdot4+3\cdot4)=52\text{ m}^2$.
b) Em regime estacionário, a potência fornecida pelo aquecedor compensa o fluxo de calor através das paredes. A diferença de temperatura é $\Delta T=20-(-40)=60^\circ\text{C}$ e $\varepsilon=0{,}26\text{ m}$:
$P=\Phi=\dfrac{kA\Delta T}{\varepsilon}=\dfrac{0{,}05\cdot52\cdot60}{0{,}26}=600\text{ W}$.
c) Em um dia:
$E=P\Delta t=0{,}60\text{ kW}\cdot24\text{ h}=14{,}4\text{ kWh}$.
Há um ponto no segmento de reta unindo o Sol à Terra, denominado “Ponto de Lagrange L1”. Um satélite artificial colocado nesse ponto, em órbita ao redor do Sol, permanecerá sempre na mesma posição relativa entre o Sol e a Terra. Nessa situação, ilustrada na figura ao lado, a velocidade angular orbital $\omega_A$ do satélite em torno do Sol será igual à da Terra, $\omega_T$. Para essa condição, determine
O módulo da força gravitacional $F$ entre dois corpos de massas $M_1$ e $M_2$, sendo $r$ a distância entre eles, é dado por $F=GM_1M_2/r^2$.
Considere as órbitas circulares.
a) Para a Terra em órbita circular, a força gravitacional exercida pelo Sol fornece a força centrípeta:
$\dfrac{GM_SM_T}{R^2}=M_T\omega_T^2R$.
Logo, $\displaystyle \omega_T=\sqrt{\dfrac{GM_S}{R^3}}$.
b) Como $\omega_A=\omega_T$ e o período orbital da Terra é aproximadamente um ano:
$\omega_A=\dfrac{2\pi}{T}\approx\dfrac{2\cdot3{,}14}{3{,}14\times10^7}=2{,}0\times10^{-7}\text{ rad/s}$.
c) No ponto $L_1$, a atração do Sol e a atração da Terra têm sentidos opostos. A distância do satélite ao Sol é $R-d$. Portanto:
$F_S=\dfrac{GM_Sm}{(R-d)^2}$ e $F_T=\dfrac{GM_Tm}{d^2}$.
Assim, o módulo da resultante dirigida para o Sol é:
$\displaystyle F_r=F_S-F_T=Gm\left[\dfrac{M_S}{(R-d)^2}-\dfrac{M_T}{d^2}\right]$.
A curva característica de uma lâmpada do tipo led (diodo emissor de luz) é mostrada no gráfico da página de respostas. Essa lâmpada e um resistor de resistência $R$ estão ligados em série a uma bateria de $4{,}5\text{ V}$, como representado na figura ao lado. Nessa condição, a tensão na lâmpada é $2{,}5\text{ V}$.
a) Pela curva característica, para $V_\ell=2{,}5\text{ V}$ a corrente na lâmpada é aproximadamente $0{,}04\text{ A}$. Como os elementos estão em série, $i_R=0{,}04\text{ A}$.
b) A queda de tensão no resistor é $U_R=4{,}5-2{,}5=2{,}0\text{ V}$. Logo:
$R=\dfrac{U_R}{i_R}=\dfrac{2{,}0}{0{,}04}=50\,\Omega$.
c) Com a bateria de $3\text{ V}$ fornecendo $60\text{ mW}$ ao circuito:
$I=\dfrac{P}{U}=\dfrac{60\times10^{-3}}{3}=2{,}0\times10^{-2}\text{ A}$.
A potência no resistor é:
$P_R=RI^2=50(2{,}0\times10^{-2})^2=2{,}0\times10^{-2}\text{ W}=20\text{ mW}$.
A primeira medida da velocidade da luz, sem o uso de métodos astronômicos, foi realizada por Hippolyte Fizeau, em 1849. A figura ao lado mostra um esquema simplificado da montagem experimental por ele utilizada. Um feixe fino de luz, emitido pela fonte $F$, incide no espelho plano semitransparente $E_1$. A luz refletida por $E_1$ passa entre dois dentes da roda dentada $R$, incide perpendicularmente no espelho plano $E_2$ que está a uma distância $L$ da roda, é refletida e chega ao olho do observador. A roda é então colocada a girar em uma velocidade angular tal que a luz que atravessa o espaço entre dois dentes da roda e é refletida pelo espelho $E_2$, não alcance o olho do observador, por atingir o dente seguinte da roda. Nesta condição, a roda, com $N$ dentes, gira com velocidade angular constante e dá $V$ voltas por segundo.
$L=8600\text{ m}$.
$N=750$.
$V=12$ voltas por segundo.
a) A luz percorre a distância $L$ na ida e $L$ na volta. Portanto:
$\displaystyle \Delta t=\dfrac{2L}{c}$.
b) Como os dentes têm a mesma largura dos espaços, do centro de um espaço até o centro do dente seguinte a roda gira $\dfrac{1}{2N}$ de uma volta. Como realiza $V$ voltas por segundo:
$\displaystyle \Delta t=\dfrac{1}{2NV}$.
c) Igualando os dois intervalos:
$\dfrac{2L}{c}=\dfrac{1}{2NV}\Rightarrow c=4NLV$.
$c=4\cdot750\cdot8600\cdot12=3{,}096\times10^8\text{ m/s}\approx3{,}1\times10^8\text{ m/s}$.
Duas pequenas esferas, cada uma com massa de $0{,}2\text{ kg}$, estão presas nas extremidades de uma haste rígida, de $10\text{ cm}$ de comprimento, cujo ponto médio está fixo no eixo de um motor que fornece $4\text{ W}$ de potência mecânica. A figura ao lado ilustra o sistema. No instante $t=0$, o motor é ligado e o sistema, inicialmente em repouso, passa a girar em torno do eixo. Determine
Não atuam forças dissipativas no sistema.
a) Sem dissipações, toda a energia fornecida pelo motor torna-se energia cinética das esferas:
$E=P\Delta t=4\cdot5=20\text{ J}$.
b) Cada esfera possui $10\text{ J}$ e descreve uma circunferência de raio $r=5\text{ cm}=0{,}05\text{ m}$:
$10=\dfrac12m(\omega r)^2=\dfrac12(0{,}2)(0{,}05\omega)^2$.
Daí, $\omega=2{,}0\times10^2\text{ rad/s}$.
c) A componente radial da força exercida pela haste é:
$F_c=m\omega^2r=0{,}2(2{,}0\times10^2)^2(0{,}05)=4{,}0\times10^2\text{ N}$.
A componente tangencial associada à potência do motor é muito menor: cada esfera recebe $2\text{ W}$ e, com $v=\omega r=10\text{ m/s}$, $F_t=P/v=0{,}2\text{ N}$. As demais componentes também são desprezíveis frente a $400\text{ N}$. Portanto, $F\approx4{,}0\times10^2\text{ N}$.
d) Como o sistema parte do repouso:
$\alpha_{\text{méd}}=\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}=\dfrac{200}{5}=40\text{ rad/s}^2$.
Um estudante construiu um microscópio ótico digital usando uma webcam, da qual ele removeu a lente original. Ele preparou um tubo adaptador e fixou uma lente convergente, de distância focal $f=50\text{ mm}$, a uma distância $d=175\text{ mm}$ do sensor de imagem da webcam, como visto na figura abaixo.
No manual da webcam, ele descobriu que seu sensor de imagem tem dimensão total útil de $6\times6\text{ mm}^2$, com $500\times500$ pixels. Com estas informações, determine
Para todos os cálculos, desconsidere a espessura da lente.
a) Cada lado de $6\text{ mm}$ possui $500$ pixels:
$\dfrac{6}{500}=0{,}012\text{ mm}=12\,\mu\text{m}$.
Logo, cada pixel ocupa $0{,}012\text{ mm}\times0{,}012\text{ mm}$, com área $1{,}44\times10^{-4}\text{ mm}^2$.
b) A imagem deve formar-se no sensor, a $p'=d=175\text{ mm}$ da lente. Pela equação de Gauss:
$\dfrac1f=\dfrac1L+\dfrac1{p'}$.
$\dfrac1{50}=\dfrac1L+\dfrac1{175}\Rightarrow\dfrac1L=\dfrac1{70}$.
Portanto, $L=70\text{ mm}$.
c) O maior diâmetro da imagem que cabe integralmente no sensor é $D'=6\text{ mm}$. O módulo do aumento linear é:
$|A|=\dfrac{p'}{L}=\dfrac{175}{70}=2{,}5=\dfrac{D'}{D}$.
Assim, $D=\dfrac6{2{,}5}=2{,}4\text{ mm}$.