Duas pequenas esferas, $E_1$ e $E_2$, feitas de materiais isolantes diferentes, inicialmente neutras, são atritadas uma na outra durante $5\text{ s}$ e ficam eletrizadas. Em seguida, as esferas são afastadas e mantidas a uma distância de $30\text{ cm}$, muito maior que seus raios. A esfera $E_1$ ficou com carga elétrica positiva de $0{,}8\text{ nC}$. Determine
Carga do elétron $=-1{,}6\times10^{-19}\text{ C}$
Constante eletrostática: $K_0=9\times10^9\text{ N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$
Não há troca de cargas entre cada esfera e o ambiente.
a) O módulo da carga de $E_1$ é $q=0{,}8\times10^{-9}\text{ C}$. Como cada elétron possui carga de módulo $e=1{,}6\times10^{-19}\text{ C}$:
$N=\dfrac{q}{e}=\dfrac{0{,}8\times10^{-9}}{1{,}6\times10^{-19}}=5{,}0\times10^9$.
b) As duas esferas eram inicialmente neutras e não há troca de carga com o ambiente. Pela conservação da carga elétrica, $E_2$ adquire carga de mesmo módulo e sinal oposto:
$Q=-0{,}8\text{ nC}$.
c) A corrente elétrica média associada à transferência de carga é:
$I=\dfrac{|\Delta Q|}{\Delta t}=\dfrac{0{,}8\times10^{-9}}{5}=1{,}6\times10^{-10}\text{ A}$.
d) Para $r=0{,}30\text{ m}$, pela lei de Coulomb:
$F=K_0\dfrac{|q_1q_2|}{r^2}=9\times10^9\dfrac{(0{,}8\times10^{-9})^2}{(0{,}30)^2}=6{,}4\times10^{-8}\text{ N}$.
Um sistema é formado por um disco com um trilho na direção radial e um bloco que pode se mover livremente ao longo do trilho. O bloco, de massa $1\text{ kg}$, está ligado a uma mola de constante elástica $300\text{ N/m}$. A outra extremidade da mola está fixa em um eixo vertical, perpendicular ao disco, passando pelo seu centro. Com o sistema em repouso, o bloco está na posição de equilíbrio, a uma distância de $20\text{ cm}$ do eixo. Um motor de potência $0{,}3\text{ W}$ acoplado ao eixo é ligado no instante $t=0$, fazendo com que todo o conjunto passe a girar e o bloco, lentamente, se afaste do centro do disco. Para o instante em que a distância do bloco ao centro é de $30\text{ cm}$, determine
Na situação inicial, em repouso, a mola está no comprimento natural $L_0=0{,}20\text{ m}$. Quando o bloco está a $0{,}30\text{ m}$ do eixo, a deformação é $x=0{,}10\text{ m}$.
a) $F=kx=300\cdot0{,}10=30\text{ N}$.
b) A força elástica fornece a resultante centrípeta:
$F=m\omega^2r$.
$30=1\cdot\omega^2\cdot0{,}30\Rightarrow\omega^2=100\Rightarrow\omega=10\text{ rad/s}$.
c) A velocidade tangencial é $v=\omega r=10\cdot0{,}30=3\text{ m/s}$. Assim,
$E=\dfrac{mv^2}{2}+\dfrac{kx^2}{2}=\dfrac{1\cdot3^2}{2}+\dfrac{300\cdot(0{,}10)^2}{2}=4{,}5+1{,}5=6{,}0\text{ J}$.
d) Sem dissipações, o trabalho do motor corresponde ao aumento da energia mecânica. Como $P=E/\Delta t$:
$\Delta t=\dfrac{E}{P}=\dfrac{6}{0{,}3}=20\text{ s}$.
Lasers pulsados de altíssima potência estão sendo construídos na Europa. Esses lasers emitirão pulsos de luz verde, e cada pulso terá $10^{15}\text{ W}$ de potência e duração de cerca de $30\times10^{-15}\text{ s}$. Com base nessas informações, determine
Velocidade da luz $=3\times10^8\text{ m/s}$
Energia do fóton $=hf$
$h=6\times10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}$
a) $c=\lambda f$, então:
$\lambda=\dfrac{3\times10^8}{0{,}6\times10^{15}}=5{,}0\times10^{-7}\text{ m}=500\text{ nm}$.
b) A energia de um pulso é:
$E=P\Delta t=10^{15}\cdot30\times10^{-15}=30\text{ J}$.
c) Para uma lâmpada de $3\text{ W}$ consumir $30\text{ J}$:
$\Delta t=\dfrac{E}{P}=\dfrac{30}{3}=10\text{ s}$.
d) A energia de cada fóton é:
$E_f=hf=6\times10^{-34}\cdot0{,}6\times10^{15}=3{,}6\times10^{-19}\text{ J}$.
Logo,
$N=\dfrac{30}{3{,}6\times10^{-19}}\approx8{,}3\times10^{19}$ fótons.
Miguel e João estão conversando, parados em uma esquina próxima a sua escola, quando escutam o toque da sirene que indica o início das aulas. Miguel continua parado na esquina, enquanto João corre em direção à escola. As ondas sonoras propagam-se, a partir da sirene, em todas as direções, com comprimento de onda $\lambda=17\text{ cm}$ e velocidade $V_S=340\text{ m/s}$, em relação ao ar. João se aproxima da escola com velocidade de módulo $v=3{,}4\text{ m/s}$ e direção da reta que une sua posição à da sirene. Determine
Miguel, ainda parado, assobia para João, que continua correndo. Sendo o comprimento de onda do assobio igual a $10\text{ cm}$, determine
a) Para Miguel, parado em relação ao ar:
$f_M=\dfrac{V_S}{\lambda}=\dfrac{340}{0{,}17}=2000\text{ Hz}$.
b) João corre em direção à sirene, enquanto o som se propaga em direção a ele. A velocidade relativa entre a frente de onda e João é:
$v_R=340+3{,}4=343{,}4\text{ m/s}$.
c) O espaçamento entre as frentes de onda continua sendo $0{,}17\text{ m}$:
$f_J=\dfrac{v_R}{\lambda}=\dfrac{343{,}4}{0{,}17}=2020\text{ Hz}$.
d) O assobio parte de Miguel, que permanece atrás de João. João se afasta da fonte. Para $\lambda_A=0{,}10\text{ m}$, a velocidade relativa das ondas em relação a João é $340-3{,}4=336{,}6\text{ m/s}$. Assim:
$f_A=\dfrac{336{,}6}{0{,}10}=3366\text{ Hz}$.
Em janeiro de 2006, a nave espacial New Horizons foi lançada da Terra com destino a Plutão, astro descoberto em 1930. Em julho de 2015, após uma jornada de aproximadamente $9{,}5$ anos e $5$ bilhões de km, a nave atinge a distância de $12{,}5$ mil km da superfície de Plutão, a mais próxima do astro, e começa a enviar informações para a Terra, por ondas de rádio. Determine
Velocidade média de Plutão $=4{,}7\text{ km/s}$
Perímetro da órbita elíptica de Plutão $=35{,}4\times10^9\text{ km}$
$1$ ano $=3\times10^7\text{ s}$
a) A distância percorrida é $5\times10^9\text{ km}=5\times10^{12}\text{ m}$. O tempo é:
$\Delta t=9{,}5\cdot3\times10^7=2{,}85\times10^8\text{ s}$.
Logo,
$v=\dfrac{5\times10^{12}}{2{,}85\times10^8}\approx1{,}75\times10^4\text{ m/s}$.
b) Para as ondas de rádio:
$t=\dfrac{5\times10^{12}}{3\times10^8}\approx1{,}67\times10^4\text{ s}\approx4{,}6\text{ h}$.
c) O período orbital de Plutão é:
$T=\dfrac{35{,}4\times10^9}{4{,}7}=7{,}53\times10^9\text{ s}$.
Em anos:
$T=\dfrac{7{,}53\times10^9}{3\times10^7}\approx251\text{ anos}$.
Como Plutão foi descoberto em 1930:
$1930+251\approx2181$.
Em um circuito integrado (CI), a conexão elétrica entre transistores é feita por trilhas de alumínio de $500\text{ nm}$ de comprimento, $100\text{ nm}$ de largura e $50\text{ nm}$ de espessura.
Capacidade térmica do CI $=5\times10^{-5}\text{ J/K}$
Considere que as trilhas são as únicas fontes de calor no CI.
a) Em unidades do SI:
$L=500\times10^{-9}=5\times10^{-7}\text{ m}$.
A área da seção transversal da trilha é:
$A=(100\times10^{-9})(50\times10^{-9})=5\times10^{-15}\text{ m}^2$.
Portanto:
$R=3\times10^{-8}\dfrac{5\times10^{-7}}{5\times10^{-15}}=3\,\Omega$.
b) Com $I=10\,\mu\text{A}=10^{-5}\text{ A}$:
$P=RI^2=3(10^{-5})^2=3\times10^{-10}\text{ W}$.
c) Para $10^6$ conexões, a potência total é:
$P_{\text{tot}}=10^6\cdot3\times10^{-10}=3\times10^{-4}\text{ W}$.
Em $5\text{ s}$:
$E=P_{\text{tot}}\Delta t=3\times10^{-4}\cdot5=1{,}5\times10^{-3}\text{ J}$.
d) A energia necessária para elevar a temperatura em $300\text{ K}$ é:
$Q=C\Delta T=5\times10^{-5}\cdot300=1{,}5\times10^{-2}\text{ J}$.
Assim:
$t=\dfrac{Q}{P_{\text{tot}}}=\dfrac{1{,}5\times10^{-2}}{3\times10^{-4}}=50\text{ s}$.