Provas Anteriores | UNICAMP 2007 2ª Fase

Q01

Mecânica — Cinemática — Movimento Uniforme e Movimento Uniformemente Variado

Em muitas praças de pedágio de rodovias existe um sistema que permite a abertura automática da cancela. Ao se aproximar, um veículo munido de um dispositivo apropriado é capaz de trocar sinais eletromagnéticos com outro dispositivo na cancela. Ao receber os sinais, a cancela abre-se automaticamente e o veículo é identificado para posterior cobrança. Para as perguntas a seguir, desconsidere o tamanho do veículo.

a) Um veículo aproxima-se da praça de pedágio a $40\text{ km/h}$. A cancela recebe os sinais quando o veículo se encontra a $50\text{ m}$ de distância. Qual é o tempo disponível para a completa abertura da cancela?

Resposta $\Delta t=4{,}5\text{ s}$

b) O motorista percebe que a cancela não abriu e aciona os freios exatamente quando o veículo se encontra a $40\text{ m}$ da mesma, imprimindo uma desaceleração de módulo constante. Qual deve ser o valor dessa desaceleração para que o veículo pare exatamente na cancela?

Resposta $1{,}5\text{ m/s}^2$

Resolução

a) A velocidade do veículo é

$40\text{ km/h}=\dfrac{40}{3{,}6}\text{ m/s}$.

Assim,

$\Delta t=\dfrac{50}{40/3{,}6}=4{,}5\text{ s}$.

b) Pela equação de Torricelli, com $v=0$, $v_0=40/3{,}6\text{ m/s}$ e $\Delta x=40\text{ m}$:

$0=v_0^2+2a\Delta x$.

$a=-\dfrac{(40/3{,}6)^2}{2\cdot40}\approx-1{,}5\text{ m/s}^2$.

Logo, o módulo da desaceleração é $1{,}5\text{ m/s}^2$.

Q02

Mecânica — Trabalho e energia — Lei de Hooke e Energia Potencial Elástica

Sensores de dimensões muito pequenas têm sido acoplados a circuitos micro-eletrônicos. Um exemplo é um medidor de aceleração que consiste de uma massa $m$ presa a uma micro-mola de constante elástica $k$. Quando o conjunto é submetido a uma aceleração $\vec a$, a micro-mola se deforma, aplicando uma força $\vec F_{el}$ na massa (ver diagrama abaixo). O gráfico ao lado do diagrama mostra o módulo da força aplicada versus a deformação de uma micro-mola utilizada num medidor de aceleração.

Micro-mola do medidor de aceleração e gráfico força por deformação

a) Qual é a constante elástica $k$ da micro-mola?

Resposta $k=1{,}0\text{ N/m}$

b) Qual é a energia necessária para produzir uma compressão de $0{,}10\text{ µm}$ na micro-mola?

Resposta $E_{el}=5{,}0\times10^{-15}\text{ J}$

c) O medidor de aceleração foi dimensionado de forma que essa micro-mola sofra uma deformação de $0{,}50\text{ µm}$ quando a massa tem uma aceleração de módulo igual a 25 vezes o da aceleração da gravidade. Qual é o valor da massa $m$ ligada à micro-mola?

Resposta $m=2{,}0\text{ µg}$

Resolução

a) A constante elástica é a inclinação do gráfico $F\times x$:

$k=\dfrac{0{,}80\times10^{-6}}{0{,}80\times10^{-6}}=1{,}0\text{ N/m}$.

b) Para $x=0{,}10\text{ µm}=1{,}0\times10^{-7}\text{ m}$:

$E_{el}=\dfrac12kx^2=\dfrac12\cdot1{,}0\cdot(1{,}0\times10^{-7})^2=5{,}0\times10^{-15}\text{ J}$.

c) Para $x=0{,}50\text{ µm}=5{,}0\times10^{-7}\text{ m}$:

$F_{el}=kx=5{,}0\times10^{-7}\text{ N}$.

Como $a=25g=250\text{ m/s}^2$:

$m=\dfrac{F_{el}}{a}=\dfrac{5{,}0\times10^{-7}}{250}=2{,}0\times10^{-9}\text{ kg}=2{,}0\text{ µg}$.

Q03

Mecânica — Trabalho e energia — Colisão Inelástica

Suponha que o esquilo do filme “A Era do Gelo” tenha desenvolvido uma técnica para recolher nozes durante o percurso para sua toca. Ele desliza por uma rampa até atingir uma superfície plana com velocidade de $10\text{ m/s}$. Uma vez nessa superfície, o esquilo passa a apanhar nozes em seu percurso. Todo o movimento se dá sobre o gelo, de forma que o atrito pode ser desprezado. A massa do esquilo é de $600\text{ g}$ e a massa de uma noz é de $40\text{ g}$.

a) Qual é a velocidade do esquilo após colher 5 nozes?

Resposta $v=7{,}5\text{ m/s}$

b) Calcule a variação da energia cinética do conjunto formado pelo esquilo e pelas nozes entre o início e o final da coleta das 5 nozes.

Resposta $\Delta E_c=-7{,}5\text{ J}$

Resolução

a) Como não há força externa horizontal resultante, conserva-se a quantidade de movimento. As nozes estão inicialmente em repouso:

$0{,}600\cdot10=(0{,}600+5\cdot0{,}040)v$.

$6{,}0=0{,}800v\Rightarrow v=7{,}5\text{ m/s}$.

b) Energia cinética inicial:

$E_i=\dfrac12\cdot0{,}600\cdot10^2=30\text{ J}$.

Energia cinética final:

$E_f=\dfrac12\cdot0{,}800\cdot7{,}5^2=22{,}5\text{ J}$.

Logo,

$\Delta E_c=E_f-E_i=22{,}5-30=-7{,}5\text{ J}$.

Q04

Mecânica — Estática — Torque e Equilíbrio de Corpos Rígidos

f2 q4 freio: figura completa conferida no PDF original

Um freio a tambor funciona de acordo com o esquema da figura abaixo. A peça de borracha B é pressionada por uma alavanca sobre um tambor cilíndrico que gira junto com a roda. A alavanca é acionada pela força $F$ e o pino no ponto C é fixo. O coeficiente de atrito cinético entre a peça de borracha e o tambor é $\mu_c=0{,}40$.

a) Qual é o módulo da força normal que a borracha B exerce sobre o tambor quando $F=750\text{ N}$? Despreze a massa da alavanca.

Resposta $N=2{,}5\times10^3\text{ N}$

b) Qual é o módulo da força de atrito entre a borracha e o tambor?

Resposta $F_{at}=1{,}0\times10^3\text{ N}$

c) Qual é o módulo da força aplicada pelo pino sobre a alavanca no ponto C?

Resposta $F_C\approx2{,}0\times10^3\text{ N}$

Resolução

a) Tomando os torques em relação a C, o equilíbrio da alavanca exige:

$N\cdot0{,}30=750\cdot1{,}00$.

$N=2{,}5\times10^3\text{ N}$.

b) A força de atrito cinético vale

$F_{at}=\mu_cN=0{,}40\cdot2{,}5\times10^3=1{,}0\times10^3\text{ N}$.

c) Pelo equilíbrio translacional, as componentes da força do pino têm módulos

$|F_{Cx}|=1{,}0\times10^3\text{ N}$

$|F_{Cy}|=2{,}5\times10^3-750=1{,}75\times10^3\text{ N}$.

$F_C=\sqrt{(1{,}0\times10^3)^2+(1{,}75\times10^3)^2}\approx2{,}0\times10^3\text{ N}$.

Q05

Mecânica — Hidrodinâmica — Pressão e Vazão

Reservatório de água ligado a uma torneira, com desnível de 5,0 m

Uma torneira é usada para controlar a vazão $\Phi$ da água que sai de um determinado encanamento. Essa vazão (volume de água por unidade de tempo) relaciona-se com a diferença de pressão dos dois lados da torneira (ver figura) pela seguinte expressão:

$P_1-P_0=Z\times\Phi$.

Nesta expressão, $Z$ é a resistência ao fluxo de água oferecida pela torneira. A densidade da água é $1{,}0\times10^3\text{ kg/m}^3$ e a pressão atmosférica $P_0$ é igual a $1{,}0\times10^5\text{ N/m}^2$.

a) Qual é a unidade de $Z$ no Sistema Internacional?

b) Se a torneira estiver fechada, qual será a pressão $P_1$?

c) Faça uma estimativa da vazão de uma torneira doméstica, tomando como base sua experiência cotidiana. A partir dessa estimativa, encontre a resistência da torneira, supondo que a diferença de pressão $(P_1-P_0)$ seja igual a $4{,}0\times10^4\text{ N/m}^2$.

Resposta — UNICAMP 2007 — 2ª Fase (Q05)

$[Z]=\text{kg}\text{ m}^{-4}\text{ s}^{-1}$; $P_1=1{,}5\times10^5\text{ Pa}$. Para $\Phi\approx1{,}0\times10^{-4}\text{ m}^3/\text{s}$, $Z\approx4{,}0\times10^8\text{ kg}\text{ m}^{-4}\text{ s}^{-1}$.

Resolução

a) De $P_1-P_0=Z\Phi$:

$[Z]=\dfrac{\text{Pa}}{\text{m}^3/\text{s}}=\dfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}^5}=\text{kg}\text{ m}^{-4}\text{ s}^{-1}$.

b) Com a torneira fechada, a pressão no ponto 1 é hidrostática:

$P_1=P_0+\rho gh$.

$P_1=1{,}0\times10^5+1{,}0\times10^3\cdot10\cdot5{,}0=1{,}5\times10^5\text{ Pa}$.

c) Uma estimativa razoável é que uma torneira encha $1\text{ L}$ em cerca de $10\text{ s}$:

$\Phi\approx\dfrac{10^{-3}}{10}=1{,}0\times10^{-4}\text{ m}^3/\text{s}$.

Assim,

$Z=\dfrac{P_1-P_0}{\Phi}=\dfrac{4{,}0\times10^4}{1{,}0\times10^{-4}}=4{,}0\times10^8\text{ kg}\text{ m}^{-4}\text{ s}^{-1}$.

Como o item pede uma estimativa da vazão, o valor de $Z$ varia de acordo com a estimativa adotada.

Q06

Mecânica — Gravitação — Terceira Lei de Kepler

Em agosto de 2006, Plutão foi reclassificado pela União Astronômica Internacional, passando a ser considerado um planeta-anão. A terceira Lei de Kepler diz que $T^2=Ka^3$, onde $T$ é o tempo para um planeta completar uma volta em torno do Sol, e $a$ é a média entre a maior e a menor distância do planeta ao Sol. No caso da Terra, essa média é $a_T=1{,}5\times10^{11}\text{ m}$, enquanto que para Plutão $a_P=60\times10^{11}\text{ m}$. A constante $K$ é a mesma para todos os objetos em órbita em torno do Sol. A velocidade da luz no vácuo é igual a $3{,}0\times10^8\text{ m/s}$. Dado: $\sqrt{10}\cong3{,}2$.

a) Considerando-se as distâncias médias, quanto tempo leva a luz do Sol para atingir a Terra? E para atingir Plutão?

Resposta Terra: $\Delta t_T=5{,}0\times10^2\text{ s}$; Plutão: $\Delta t_P=2{,}0\times10^4\text{ s}$.

b) Quantos anos terrestres Plutão leva para dar uma volta em torno do Sol? Expresse o resultado de forma aproximada como um número inteiro.

Resposta $T_P\approx256$ anos terrestres.

Resolução

a) Para a Terra:

$\Delta t_T=\dfrac{1{,}5\times10^{11}}{3{,}0\times10^8}=5{,}0\times10^2\text{ s}$.

Para Plutão:

$\Delta t_P=\dfrac{60\times10^{11}}{3{,}0\times10^8}=2{,}0\times10^4\text{ s}$.

b) Pela terceira lei de Kepler:

$\dfrac{T_P^2}{T_T^2}=\left(\dfrac{a_P}{a_T}\right)^3=40^3$.

$\dfrac{T_P}{T_T}=40^{3/2}=40\sqrt{40}=80\sqrt{10}$.

Usando $\sqrt{10}\cong3{,}2$:

$T_P\cong80\cdot3{,}2=256$ anos terrestres.

Q07

Ondas — Acústica — Nível Sonoro e Comprimento de Onda

f2 q7 nivel sonoro: figura completa conferida no PDF original

O nível sonoro $S$ é medido em decibéis (dB) de acordo com a expressão $S=(10\text{ dB})\log\dfrac{I}{I_0}$, onde $I$ é a intensidade da onda sonora e $I_0=10^{-12}\text{ W/m}^2$ é a intensidade de referência padrão correspondente ao limiar da audição do ouvido humano. Numa certa construção, o uso de proteção auditiva é indicado para trabalhadores expostos durante um dia de trabalho a um nível igual ou superior a $85\text{ dB}$. O gráfico abaixo mostra o nível sonoro em função da distância a uma britadeira em funcionamento na obra.

a) A que distância mínima da britadeira os trabalhadores podem permanecer sem proteção auditiva?

Resposta O limite indicado pelo gráfico é aproximadamente $10\text{ m}$. Sem proteção, deve-se permanecer além desse limite, onde $S<85\text{ dB}$.

b) A freqüência predominante do som emitido pela britadeira é de $100\text{ Hz}$. Sabendo-se que a velocidade do som no ar é de $340\text{ m/s}$, qual é o comprimento de onda para essa freqüência?

Resposta $\lambda=3{,}40\text{ m}$

c) Qual é a intensidade da onda sonora emitida pela britadeira a uma distância de $50\text{ m}$?

Resposta $I=1{,}0\times10^{-5}\text{ W/m}^2$

Resolução

a) Pelo gráfico, $S=85\text{ dB}$ corresponde a aproximadamente $10\text{ m}$. Esse é o limite aproximado lido no gráfico. Como o enunciado indica proteção para níveis iguais ou superiores a $85\text{ dB}$, a permanência sem proteção deve ocorrer além desse limite, onde $S<85\text{ dB}$.

b) Pela relação $v=\lambda f$:

$\lambda=\dfrac{340}{100}=3{,}40\text{ m}$.

c) Pelo gráfico, a $50\text{ m}$ o nível sonoro é $70\text{ dB}$.

$70=10\log\dfrac{I}{10^{-12}}$.

$7=\log\dfrac{I}{10^{-12}}\Rightarrow\dfrac{I}{10^{-12}}=10^7$.

$I=1{,}0\times10^{-5}\text{ W/m}^2$.

Q08

Termologia — Calorimetria — Condução de Calor e Calor Latente

f2 q8 tanque: figura completa conferida no PDF original

Nas regiões mais frias do planeta, camadas de gelo podem se formar rapidamente sobre um volume de água a céu aberto. A figura abaixo mostra um tanque cilíndrico de água cuja área da base é $A=2{,}0\text{ m}^2$, havendo uma camada de gelo de espessura $L$ na superfície da água. O ar em contato com o gelo está a uma temperatura $T_{ar}=-10\ ^\circ\text{C}$, enquanto a temperatura da água em contato com o gelo é $T_{ag}=0{,}0\ ^\circ\text{C}$.

a) O calor é conduzido da água ao ar através do gelo. O fluxo de calor $\phi_{cal}$, definido como a quantidade de calor conduzido por unidade de tempo, é dado por $\phi_{cal}=kA\dfrac{T_{ag}-T_{ar}}{L}$, onde $k=4{,}0\times10^{-3}\text{ cal/(s cm }^\circ\text{C)}$ é a condutividade térmica do gelo. Qual é o fluxo de calor $\phi_{cal}$ quando $L=5{,}0\text{ cm}$?

Resposta $\phi_{cal}=1{,}6\times10^2\text{ cal/s}$

b) Ao solidificar-se, a água a $0\ ^\circ\text{C}$ perde uma quantidade de calor que é proporcional à massa de água transformada em gelo. A constante de proporcionalidade $L_S$ é chamada de calor latente de solidificação. Sabendo-se que o calor latente de solidificação e a densidade do gelo valem, respectivamente, $L_S=80\text{ cal/g}$ e $\rho_g=0{,}90\text{ g/cm}^3$, calcule a quantidade de calor trocado entre a água e o ar para que a espessura do gelo aumente de $5{,}0\text{ cm}$ para $15\text{ cm}$.

Resposta A água cede $1{,}44\times10^7\text{ cal}\approx1{,}4\times10^7\text{ cal}$ ao ar. Para a água, $Q=-1{,}44\times10^7\text{ cal}$.

Resolução

a) Como $A=2{,}0\text{ m}^2=2{,}0\times10^4\text{ cm}^2$:

$\phi_{cal}=4{,}0\times10^{-3}\cdot2{,}0\times10^4\cdot\dfrac{10}{5{,}0}=1{,}6\times10^2\text{ cal/s}$.

b) A nova camada de gelo tem espessura

$\Delta L=15-5{,}0=10\text{ cm}$.

Seu volume é

$V=A\Delta L=2{,}0\times10^4\cdot10=2{,}0\times10^5\text{ cm}^3$.

A massa correspondente é

$m=\rho_gV=0{,}90\cdot2{,}0\times10^5=1{,}8\times10^5\text{ g}$.

Logo,

$|Q|=mL_S=1{,}8\times10^5\cdot80=1{,}44\times10^7\text{ cal}\approx1{,}4\times10^7\text{ cal}$. A água cede essa quantidade de calor ao ar; adotando calor recebido como positivo, $Q_{\text{água}}=-1{,}44\times10^7\text{ cal}$.

Q09

Eletricidade — Eletrodinâmica — Associação de Resistores, Potência e Energia

Circuito simplificado de uma torradeira com seis resistores

O diagrama abaixo representa um circuito simplificado de uma torradeira elétrica que funciona com uma tensão $U=120\text{ V}$. Um conjunto de resistores $R_T=20\Omega$ é responsável pelo aquecimento das torradas e um cronômetro determina o tempo durante o qual a torradeira permanece ligada.

a) Qual é a corrente que circula em cada resistor $R_T$ quando a torradeira está em funcionamento?

Resposta $I=2{,}0\text{ A}$

b) Sabendo-se que essa torradeira leva 50 segundos para preparar uma torrada, qual é a energia elétrica total consumida no preparo dessa torrada?

Resposta $E=2{,}4\times10^4\text{ J}$

c) O preparo da torrada só depende da energia elétrica total dissipada nos resistores. Se a torradeira funcionasse com dois resistores $R_T$ de cada lado da torrada, qual seria o novo tempo de preparo da torrada?

Resposta $\Delta t'\approx33\text{ s}$

Resolução

a) Em cada lado há três resistores em série:

$R_{ramo}=3R_T=60\Omega$.

Como cada ramo está submetido a $120\text{ V}$:

$I=\dfrac{120}{60}=2{,}0\text{ A}$.

b) A potência em cada resistor é

$P_R=R_TI^2=20\cdot2^2=80\text{ W}$.

Com seis resistores:

$P_{tot}=6\cdot80=480\text{ W}$.

$E=P_{tot}\Delta t=480\cdot50=2{,}4\times10^4\text{ J}$.

c) Com dois resistores por lado, $R_{ramo}=40\Omega$ e

$I'=\dfrac{120}{40}=3{,}0\text{ A}$.

A potência total passa a ser

$P'_{tot}=4\cdot20\cdot3^2=720\text{ W}$.

Para dissipar a mesma energia:

$\Delta t'=\dfrac{2{,}4\times10^4}{720}\approx33\text{ s}$.

Q10

Eletricidade — Eletrostática — Capacitância e Corrente Elétrica

Célula de televisor de plasma representada como capacitor de placas paralelas

Numa tela de televisor de plasma, pequenas células contendo uma mistura de gases emitem luz quando submetidas a descargas elétricas. A figura abaixo mostra uma célula com dois eletrodos, nos quais uma diferença de potencial é aplicada para produzir a descarga. Considere que os eletrodos formam um capacitor de placas paralelas, cuja capacitância é dada por $C=\dfrac{\varepsilon_0A}{d}$, onde $\varepsilon_0=8{,}9\times10^{-12}\text{ F/m}$, $A$ é a área de cada eletrodo e $d$ é a distância entre os eletrodos.

a) Calcule a capacitância da célula.

Resposta $C\approx1{,}1\times10^{-14}\text{ F}$

b) A carga armazenada em um capacitor é proporcional à diferença de potencial aplicada, sendo que a constante de proporcionalidade é a capacitância. Se uma diferença de potencial igual a $100\text{ V}$ for aplicada nos eletrodos da célula, qual é a carga que será armazenada?

Resposta $Q=1{,}1\times10^{-12}\text{ C}$

c) Se a carga encontrada no item b) atravessar o gás em $1\text{ µs}$ (tempo de descarga), qual será a corrente média?

Resposta $i=1{,}1\times10^{-6}\text{ A}$

Resolução

a) A área de cada eletrodo é

$A=(600\times10^{-6})(200\times10^{-6})=1{,}20\times10^{-7}\text{ m}^2$.

E $d=100\text{ µm}=1{,}00\times10^{-4}\text{ m}$.

Assim,

$C=\dfrac{8{,}9\times10^{-12}\cdot1{,}20\times10^{-7}}{1{,}00\times10^{-4}}\approx1{,}1\times10^{-14}\text{ F}$.

b) Como $Q=CV$:

$Q\approx1{,}1\times10^{-14}\cdot100=1{,}1\times10^{-12}\text{ C}$.

c) Para $\Delta t=1\text{ µs}=1{,}0\times10^{-6}\text{ s}$:

$i=\dfrac{Q}{\Delta t}\approx\dfrac{1{,}1\times10^{-12}}{1{,}0\times10^{-6}}=1{,}1\times10^{-6}\text{ A}$.

Q11

Óptica — Refração — Refração e Interferência em Filmes Finos

Uma gota de cola plástica à base de PVC cai sobre a superfície da água parada de um tanque, formando um filme sólido (camada fina) de espessura $l=4{,}0\times10^{-7}\text{ m}$. Dado: $\sqrt{2}\cong1{,}4$.

a) Ao passar de um meio de índice de refração $n_1$ para outro meio de índice de refração $n_2$, um raio de luz é desviado de tal forma que $n_1\operatorname{sen}\theta_1=n_2\operatorname{sen}\theta_2$, onde $\theta_1$ e $\theta_2$ são os ângulos entre o raio em cada meio e a normal, respectivamente. Um raio luminoso incide sobre a superfície superior do filme, formando um ângulo $\theta_1=30^\circ$ com a normal, conforme a figura abaixo. Calcule a distância $d$ que o raio representado na figura percorre no interior do filme. O índice de refração do PVC é $n_2=1{,}5$.

Resposta $d\approx8{,}6\times10^{-7}\text{ m}$

b) As diversas cores observadas no filme devem-se ao fenômeno de interferência. A interferência é construtiva quando a distância $d$ percorrida pela luz no interior do filme é igual a $(2k+1)\dfrac{\lambda}{2n_2}$, onde $k$ é um número natural $(k=0,1,2,3....)$. Neste caso, a cor correspondente ao comprimento de onda $\lambda$ torna-se visível para raios incidentes que formam ângulo $\theta_1$ com a normal. Qual é o comprimento de onda na faixa visível do espectro eletromagnético $(400\text{nm}-700\text{nm})$ para o qual a interferência é construtiva quando o ângulo de incidência é $\theta_1=30^\circ$?

Resposta $\lambda\approx5{,}2\times10^2\text{ nm}$

$f2 q11 refracao: figura completa conferida no PDF original$

Resolução

a) Pela lei de Snell, considerando $n_1\approx1$:

$\operatorname{sen}\theta_2=\dfrac{\operatorname{sen}30^\circ}{1{,}5}=\dfrac{1/2}{3/2}=\dfrac13$.

Logo,

$\cos\theta_2=\sqrt{1-\dfrac19}=\sqrt{\dfrac89}=\dfrac{2\sqrt2}{3}\approx\dfrac{2\cdot1{,}4}{3}$.

O raio percorre duas vezes a espessura do filme:

$d=\dfrac{2l}{\cos\theta_2}\approx\dfrac{8{,}0\times10^{-7}}{0{,}933}\approx8{,}6\times10^{-7}\text{ m}$.

b) Da condição fornecida:

$d=(2k+1)\dfrac{\lambda}{2n_2}$.

$\lambda=\dfrac{2n_2d}{2k+1}\approx\dfrac{3\cdot8{,}6\times10^{-7}}{2k+1}$.

Testando valores naturais de $k$, apenas $k=2$ produz comprimento de onda visível:

$\lambda\approx\dfrac{2{,}58\times10^{-6}}{5}=5{,}16\times10^{-7}\text{ m}\approx5{,}2\times10^2\text{ nm}$.

Q12

Física moderna — Relatividade — Movimento Circular e Relatividade

f2 q12 sincrotron: figura completa conferida no PDF original

Numa fonte de luz síncrotron, como aquela existente no Laboratório Nacional de Luz Síncrotron (LNLS) de Campinas, elétrons circulam no interior de um tubo com velocidade de módulo $v$ muito próximo ao da velocidade da luz no vácuo, que é $c=3{,}0\times10^8\text{ m/s}$. A trajetória percorrida pelos elétrons é composta de trechos em linha reta e de trechos curvos (arcos de circunferência de raio $R$), como ilustrado na figura abaixo. Nas curvas os elétrons sofrem aceleração centrípeta e, em conseqüência disso, emitem luz.

a) Se $R=3{,}0\text{ m}$, qual é o módulo da aceleração centrípeta do elétron nos trechos curvos da trajetória? Para simplificar o cálculo, considere neste item que o módulo da velocidade $v$ dos elétrons é exatamente igual a $c$.

Resposta $a_c=3{,}0\times10^{16}\text{ m/s}^2$

b) Segundo a teoria da relatividade, a energia de um elétron é dada por $E=\gamma mc^2$, onde $m=9\times10^{-31}\text{ kg}$ é a massa do elétron, e $\gamma$ é uma grandeza adimensional sempre maior do que 1, que depende da velocidade do elétron. No LNLS, a energia do elétron é igual a $2{,}1\times10^{-10}\text{ J}$. Qual é o valor de $\gamma$?

Resposta $\gamma\approx2{,}6\times10^3$

c) A diferença entre os módulos das velocidades da luz e dos elétrons, $\Delta v=(c-v)$, relaciona-se com $\gamma$ por $\Delta v\cong\dfrac{c}{2\gamma^2}$. Encontre $\Delta v$ no caso do LNLS.

Resposta $\Delta v\approx22\text{ m/s}$

Resolução

a) Nos trechos curvos:

$a_c=\dfrac{v^2}{R}\approx\dfrac{c^2}{R}=\dfrac{(3{,}0\times10^8)^2}{3{,}0}=3{,}0\times10^{16}\text{ m/s}^2$.

b) Da expressão $E=\gamma mc^2$:

$\gamma=\dfrac{E}{mc^2}=\dfrac{2{,}1\times10^{-10}}{9\times10^{-31}\cdot(3{,}0\times10^8)^2}\approx2{,}6\times10^3$.

c) Usando a relação fornecida:

$\Delta v\cong\dfrac{3{,}0\times10^8}{2(2{,}6\times10^3)^2}\approx22\text{ m/s}$.

UNICAMP 2007 | 2ª Fase — Questões de Física comentadas — Método TEF

Dados da prova