Eletricidade — Eletrostática — Força elétrica medida com balança
Uma montagem experimental simples permite a medida da força entre objetos carregados com o auxílio de uma balança (A. Cortel, Physics Teacher 37, 447 (1999)). Nesta montagem são usadas bolas de Natal metalizadas idênticas, presas a hastes isolantes, como ilustrado no diagrama.
Uma das bolas é colocada sobre a balança, com a sua haste de sustentação fixa na posição vertical. Com o auxílio de um suporte e de uma régua, uma segunda bola é disposta de modo que os centros das bolas fiquem alinhados na direção vertical e distem $d$ entre si. Nesta configuração a balança registra um valor $f_0$.
As bolas são então carregadas, a que está sobre a balança com carga elétrica $+Q_1$, e a outra bola com uma carga elétrica $+Q_2$. Nesta situação, a balança registra um novo valor $f_1$.
a) Indique se $f_1$ é maior, menor, ou igual a $f_0$, justificando sua resposta com conceitos e leis físicas.
b) Utilizando uma terceira bola descarregada (idêntica às outras duas) a carga da bola que estava sobre a balança é reduzida à metade de seu valor original. Um novo valor $f_2$ é registrado na balança. Calcule a razão $(f_2-f_0)/(f_1-f_0)$.
c) Nessa situação as duas bolas são aproximadas até que a distância entre os seus centros seja reduzida à metade de seu valor original. Um novo valor $f_3$ é registrado na balança. Calcule a razão $(f_3-f_0)/(f_1-f_0)$.
d) Finalmente, a bola carregada que se encontrava fora da balança é substituída por uma bola descarregada, à mesma distância $d$ inicial, e a balança registra um novo valor $f_4$. Indique se $f_4$ é maior, menor, ou igual a $f_0$, justificando sua resposta com conceitos e leis físicas.
a) $f_1>f_0$. b) $1/2$. c) $2$. d) $f_4<f_0$.
Resolução comentada
A balança mede a força normal. Sem força elétrica, a leitura $f_0$ corresponde ao peso do conjunto apoiado. Com as duas cargas positivas, a esfera de cima repele a de baixo para baixo. O equilíbrio exige $f_1=f_0+F_e$, de modo que $f_1>f_0$.
No modelo de Coulomb usado no gabarito, $F_e=kQ_1Q_2/d^2$. Reduzir $Q_1$ à metade mantendo $d$ dá $f_2-f_0=F_e/2$, logo $(f_2-f_0)/(f_1-f_0)=1/2$.
Com a carga já reduzida à metade e a distância agora igual a $d/2$, o fator $1/d^2$ quadruplica. Assim, $f_3-f_0=4(F_e/2)=2F_e$ e a razão pedida vale $2$.
A esfera neutra condutora se polariza pela presença da esfera carregada. A região mais próxima, de sinal oposto, produz uma atração resultante. Na esfera inferior, essa força aponta para cima. A normal necessária para o equilíbrio diminui, portanto $f_4
Resposta: a) $f_1>f_0$. b) $1/2$. c) $2$. d) $f_4<f_0$.
Q2
Termologia — Termodinâmica — Equilíbrio térmico de gás com e sem pistão
Numa experiência, um recipiente de paredes adiabáticas, exceto pelo fundo metálico, contém $20\,\mathrm g$ de água a $67\,{}^\circ\mathrm C$ e é colocado em contato térmico com outro recipiente, com $200\,\mathrm L$ de volume, de paredes adiabáticas, exceto por um pedaço metálico em seu topo, contendo um gás monoatômico. Na situação inicial, este gás está a uma temperatura de $27\,{}^\circ\mathrm C$ e exerce sobre as paredes do recipiente uma pressão de $1\,\mathrm{atm}$. A capacidade térmica do recipiente que contém água pode ser desprezada, enquanto a daquele que contém o gás é de $4\,\mathrm{cal/K}$. A temperatura do sistema, quando o equilíbrio térmico é atingido, é de $59\,{}^\circ\mathrm C$.
a) Determine a pressão exercida pelo gás sobre as paredes do recipiente depois de alcançado o equilíbrio térmico.
b) Determine a capacidade térmica da massa gasosa.
c) A experiência é, em seguida, repetida a partir das mesmas condições iniciais, mas o recipiente que contém o gás dispõe agora de um pistão móvel. A temperatura final de equilíbrio nesta nova situação será maior, menor, ou igual a $59\,{}^\circ\mathrm C$? Justifique sua resposta explicitando os princípios ou leis físicas que conduziram seu raciocínio.
a) Aproximadamente $1{,}11\,\mathrm{atm}$. b) $1\,\mathrm{cal/K}$ pelo balanço do gabarito. c) Menor que $59\,{}^\circ\mathrm C$ se o gás se expande realizando trabalho.
Resolução comentada
No recipiente rígido, a quantidade de gás e o volume ficam fixos. Pelo modelo de gás ideal, $P_f/P_i=T_f/T_i=332/300$. Assim, $P_f\approx1{,}11\,\mathrm{atm}$. As temperaturas na razão precisam estar em kelvin.
A água cede $20\cdot1\cdot(67-59)=160\,\mathrm{cal}$. O gás e seu recipiente aquecem $32\,\mathrm K$. O balanço térmico é $160=(C_g+4)\cdot32$, em calorias. Assim, $C_g=1\,\mathrm{cal/K}$, como no gabarito.
O resultado do balanço usa a temperatura final fornecida. Se também impusermos a capacidade de um gás ideal monoatômico, os dados de pressão, volume e temperatura dão $n\approx8{,}1\,\mathrm{mol}$ e $C_V=3nR/2\approx24\,\mathrm{cal/K}$. Portanto, os dados não são compatíveis com todas essas hipóteses ao mesmo tempo.
Com pistão móvel, no cenário de expansão considerado pelo gabarito, o gás realiza trabalho positivo. Pela primeira lei, $\Delta U=Q-W$. Para atingir os mesmos $59\,{}^\circ\mathrm C$, seria necessária a energia do caso rígido mais o trabalho de expansão. A água cederia a mesma energia até essa temperatura. O novo equilíbrio, portanto, ocorre a uma temperatura menor.
Resposta: a) Aproximadamente $1{,}11\,\mathrm{atm}$. b) $1\,\mathrm{cal/K}$ pelo balanço do gabarito. c) Menor que $59\,{}^\circ\mathrm C$ se o gás se expande realizando trabalho.
Q3
Óptica — Refração — Reflexão total entre faces adjacentes de um cubo
A figura abaixo mostra o trajeto parcial de um raio luminoso que, incidindo sobre uma face de um cubo de material transparente, incide sobre uma face adjacente à primeira depois de refratado.
A velocidade de propagação da luz $v$ no interior do cubo pode ser escrita em função da velocidade da luz no vácuo $c$ como $v=fc$, onde $f$ é um número adimensional característico do material de que o cubo é feito.
a) Determine, examinando a figura, se $f$ é maior, menor, ou igual a 1. Justifique sua resposta apoiando-a em conceitos e leis físicas.
b) Qual o valor limite do ângulo $\theta_3$ acima do qual não mais existe raio refratado através da 2ª face do cubo?
c) Se o ângulo $\theta_1$ é exatamente aquele que provoca o valor limite de $\theta_3$ calculado no item anterior, para que exista raio refratado na 2ª face você deve aumentar ou diminuir o ângulo $\theta_1$? Justifique sua resposta apoiando-a em conceitos e leis físicas.
d) Verifica-se experimentalmente que é impossível ver-se através de faces adjacentes de cubos de acrílico, material cujo índice de refração é 1,5. Usando o raciocínio utilizado no item anterior, considere o ângulo $\theta_1$ mais favorável possível e mostre que, para um cubo de acrílico, mesmo um raio que incida na 1ª face com este ângulo ainda sofrerá reflexão total na 2ª face.
a) $f<1$. b) $\theta_{3,\rm lim}=\arcsin f$. c) Diminuir $\theta_1$. d) Mesmo no limite favorável, $\theta_3\approx48{,}2^\circ>41{,}8^\circ$.
Resolução comentada
Na primeira face, o ângulo de incidência com a normal é $90^\circ-\theta_1$. Pela figura, o ângulo refratado $\theta_2$ é menor. A lei de Snell implica $n>1$ para o cubo, tomando $n_{\rm ar}=1$. Como $v=c/n$, temos $f=1/n<1$.
Na segunda face, o ângulo limite ocorre quando o raio refratado sai rasante, a $90^\circ$ da normal. A lei de Snell dá $n\sin\theta_{3,\rm lim}=1$. Assim, $\theta_{3,\rm lim}=\arcsin(1/n)=\arcsin f$.
Diminuir $\theta_1$ aumenta a incidência em relação à normal da primeira face e aumenta $\theta_2$. Como as faces são perpendiculares, $\theta_3=90^\circ-\theta_2$ diminui. Ao ficar abaixo do limite, pode haver refração na segunda face.
O limite mais favorável é $\theta_1\to0^\circ$, incidência quase rasante na primeira face. Para $n=1{,}5$, isso dá $\theta_{2,\max}=\arcsin(1/1{,}5)\approx41{,}8^\circ$. Logo, $\theta_{3,\min}\approx48{,}2^\circ$, acima do ângulo crítico de $41{,}8^\circ$. Mesmo no limite mais favorável ocorre reflexão total.
Resposta: a) $f<1$. b) $\theta_{3,\rm lim}=\arcsin f$. c) Diminuir $\theta_1$. d) Mesmo no limite favorável, $\theta_3\approx48{,}2^\circ>41{,}8^\circ$.
Q4
Mecânica — Trabalho e energia — Energia e momento em oscilação amortecida
Numa experiência realizada no laboratório didático do Instituto de Física da UFF analisa-se o movimento de um carrinho de $200\,\mathrm g$ de massa que desliza sobre um trilho de ar preso a um suporte fixo por uma mola de constante elástica $k=2{,}0\,\mathrm{N/m}$ e massa desprezível, sujeito a uma força dissipativa provocada pelo ar. O gráfico abaixo representa a posição medida do carrinho como função do tempo.
a) Qual a velocidade do carrinho nos instantes 0 e $t_1$? Justifique sua resposta.
b) Qual a energia mecânica do sistema formado pelo carrinho e pela mola, nos instantes 0 e $t_1$?
c) Calcule o trabalho realizado pela força dissipativa entre os instantes 0 e $t_1$.
d) Compare os módulos do momento linear do carrinho nos instantes $t_2$ e $t_3$ e determine em qual destes instantes ele é maior. Justifique sua resposta explicitando os princípios ou leis físicas que conduziram seu raciocínio.
a) Ambas nulas. b) $0{,}25\,\mathrm J$ e $0{,}16\,\mathrm J$. c) $-0{,}09\,\mathrm J$. d) Maior em $t_2$.
Resolução comentada
A velocidade é a inclinação do gráfico $x(t)$. Em 0 e $t_1$, o carrinho está nos extremos do movimento e a inclinação é nula. Nesses instantes, a energia mecânica é apenas elástica, $E=kx^2/2$.
Lendo $x_0=0{,}5\,\mathrm m$ e $x_1=-0{,}4\,\mathrm m$, obtemos $E_0=0{,}25\,\mathrm J$ e $E_1=0{,}16\,\mathrm J$. O trabalho da força dissipativa é a variação da energia mecânica, $W=E_1-E_0=-0{,}09\,\mathrm J$.
Em $t_2$ e $t_3$, $x=0$, portanto a energia elástica é nula. A dissipação faz $E_2>E_3$. Como nesses pontos $E=p^2/(2m)$, o módulo do momento linear é maior em $t_2$.
Resposta: a) Ambas nulas. b) $0{,}25\,\mathrm J$ e $0{,}16\,\mathrm J$. c) $-0{,}09\,\mathrm J$. d) Maior em $t_2$.
Q5
Eletricidade — Eletrodinâmica — Potência dissipada nos fios em dois circuitos
Costuma-se dizer que o uso de extensões para ligar vários aparelhos numa única tomada aumenta o consumo de energia elétrica. A alternativa mais econômica, deste ponto de vista, é ligar cada aparelho a uma tomada diferente, com seus próprios fios de ligação. Os dois esquemas abaixo representam a ligação de dois aparelhos elétricos idênticos, de resistência $R$, à mesma tomada por meio de uma extensão (Figura 1) e a ligação de cada aparelho a uma tomada diferente, com seus próprios fios de ligação (Figura 2). Os resistores de resistência $r$ das figuras representam a resistência total dos fios de ligação, suposta igual em ambas as alternativas de ligação.
a) Calcule a corrente que atravessa cada aparelho nos circuitos das Figuras 1 e 2.
b) Calcule a potência total dissipada pela resistência dos fios de ligação em cada um dos casos mostrados.
c) Tomando os valores $R=100\,\Omega$ e $r=1\,\Omega$, compare as potências dissipadas calculadas no item anterior e diga em que situação a potência dissipada nos fios de ligação é maior, ou seja, em que situação o desperdício de energia é maior.
a) $I_1=V/(R+2r)$ e $I_2=V/(R+r)$ por aparelho. b) $P_1=4rV^2/(R+2r)^2$ e $P_2=2rV^2/(R+r)^2$. c) A Figura 1 dissipa aproximadamente $1{,}96$ vez mais nos fios.
Resolução comentada
Na Figura 1, os aparelhos idênticos estão em paralelo, com resistência equivalente $R/2$. O fio comum está em série com esse conjunto e conduz $V/(r+R/2)$. Cada aparelho recebe metade dessa corrente, $I_1=V/(R+2r)$.
Na Figura 2, cada ramo tem $R+r$ e está sujeito à tensão $V$. A corrente por aparelho vale $I_2=V/(R+r)$.
Pelo efeito Joule, o fio comum dissipa $P_1=r(2I_1)^2=4rV^2/(R+2r)^2$. Na Figura 2, há dois fios, cada um com corrente $I_2$. Logo, $P_2=2rI_2^2=2rV^2/(R+r)^2$.
Para os valores dados, $P_1/P_2=2(101/102)^2\approx1{,}96$. A perda nos fios é maior na Figura 1. A comparação é entre as potências dissipadas nos fios, como pede o item.
Resposta: a) $I_1=V/(R+2r)$ e $I_2=V/(R+r)$ por aparelho. b) $P_1=4rV^2/(R+2r)^2$ e $P_2=2rV^2/(R+r)^2$. c) A Figura 1 dissipa aproximadamente $1{,}96$ vez mais nos fios.
