Provas Anteriores | UFF 2010 — 2ª etapa

Ondas — Ondas eletromagnéticas — Comprimento de onda e índice de refração em meios transparentes

As figuras abaixo mostram duas ondas eletromagnéticas que se propagam do ar para dois materiais transparentes distintos, da mesma espessura $d$, e continuam a se propagar no ar depois de atravessar esses dois materiais. As figuras representam as distribuições espaciais dos campos elétricos em um certo instante de tempo. A velocidade das duas ondas no ar é $c=3\times10^8\,\mathrm{m/s}$.

Perfis espaciais dos campos elétricos no ar e em dois materiais, com eixo x em unidades de 10⁻⁷ m.

a) Determine o comprimento de onda e a frequência das ondas no ar.

b) Determine os comprimentos de onda, as frequências e as velocidades das ondas nos dois meios transparentes e os respectivos índices de refração dos dois materiais.

a) $\lambda=6\times10^{-7}\,\mathrm m$, $f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$. b) Meio 1: $\lambda_1=4{,}5\times10^{-7}\,\mathrm m$, $v_1=2{,}25\times10^8\,\mathrm{m/s}$, $n_1=4/3$. Meio 2: $\lambda_2=3{,}6\times10^{-7}\,\mathrm m$, $v_2=1{,}8\times10^8\,\mathrm{m/s}$, $n_2=5/3$. Nos dois meios, $f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

Resolução comentada

a) Leitura no ar. O gráfico é espacial: a distância entre dois máximos consecutivos fornece o comprimento de onda. No ar, essa distância corresponde a $6\times10^{-7}\,\mathrm m$. Usando $c=\lambda f$, obtemos $f=c/\lambda=(3\times10^8)/(6\times10^{-7})=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

b) Comprimentos de onda nos materiais. No material 1, dois comprimentos de onda ocupam $9\times10^{-7}\,\mathrm m$, de modo que $\lambda_1=4{,}5\times10^{-7}\,\mathrm m$. No material 2, cinco comprimentos de onda ocupam $18\times10^{-7}\,\mathrm m$, logo $\lambda_2=3{,}6\times10^{-7}\,\mathrm m$.

A frequência é fixada pela fonte e não muda na passagem entre meios estacionários: $f_1=f_2=f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$. O que muda é a velocidade e, consequentemente, o comprimento de onda.

Pela relação $v=\lambda f$, $v_1=(4{,}5\times10^{-7})(5\times10^{14})=2{,}25\times10^8\,\mathrm{m/s}$ e $v_2=(3{,}6\times10^{-7})(5\times10^{14})=1{,}8\times10^8\,\mathrm{m/s}$.

Os índices de refração são $n=c/v$: $n_1=3/2{,}25=4/3\approx1{,}33$ e $n_2=3/1{,}8=5/3\approx1{,}67$. O padrão oficial arredonda $v_1$ para $2{,}3\times10^8\,\mathrm{m/s}$; mantivemos aqui o produto antes desse arredondamento.

Resposta: a) $\lambda=6\times10^{-7}\,\mathrm m$, $f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$. b) Meio 1: $\lambda_1=4{,}5\times10^{-7}\,\mathrm m$, $v_1=2{,}25\times10^8\,\mathrm{m/s}$, $n_1=4/3$. Meio 2: $\lambda_2=3{,}6\times10^{-7}\,\mathrm m$, $v_2=1{,}8\times10^8\,\mathrm{m/s}$, $n_2=5/3$. Nos dois meios, $f=5\times10^{14}\,\mathrm{Hz}$.

Eletricidade — Eletrodinâmica — Dispositivo não ôhmico em série com lâmpada

Um certo dispositivo, quando submetido a uma diferença de potencial variável, apresenta corrente elétrica $I$ em ampères, como função da diferença de potencial $V_D$ em volts aplicada aos seus terminais, conforme mostra o gráfico abaixo.

Gráfico I versus VD, linear por trechos, passando por (0,0), (20 V,0,2 A) e (40 V,0,3 A).

Esse dispositivo é utilizado, com uma lâmpada de resistência $R=50\,\Omega$ e uma fonte de d.d.p. variável $\varepsilon$, no circuito esquematizado na figura a seguir.

Dispositivo D e lâmpada R ligados em série a uma fonte variável.

O dispositivo é simbolizado por uma caixa preta e designado pela letra D.

a) Desenhe, no espaço abaixo, o gráfico da diferença de potencial da fonte em função da corrente elétrica no circuito.

b) Determine a diferença de potencial da fonte para que a potência dissipada na lâmpada seja de $4{,}5\,\mathrm W$.

a) $\varepsilon=150I$ para $0\le I\le0{,}2\,\mathrm A$ e $\varepsilon=250I-20$ para $0{,}2\le I\le0{,}3\,\mathrm A$, com tensão em volts. b) $\varepsilon=55\,\mathrm V$.

Resolução comentada

a) Soma das tensões em série. A corrente é a mesma no dispositivo e na lâmpada. A fonte deve fornecer $\varepsilon=V_D+V_R=V_D+50I$. É necessário inverter a leitura do gráfico fornecido para expressar $V_D$ em função de $I$.

No primeiro trecho, os pontos $(V_D,I)=(0,0)$ e $(20\,\mathrm V,0{,}2\,\mathrm A)$ dão $V_D=100I$. Assim, $\varepsilon=150I$ até $I=0{,}2\,\mathrm A$, quando $\varepsilon=30\,\mathrm V$.

No segundo trecho, a inclinação de $V_D$ contra $I$ é $(40-20)/(0{,}3-0{,}2)=200\,\Omega$. Para passar pelo ponto $(I,V_D)=(0{,}2\,\mathrm A,20\,\mathrm V)$, a relação é $V_D=200I-20$, portanto $\varepsilon=250I-20$. Em $I=0{,}3\,\mathrm A$, a fonte tem $55\,\mathrm V$.

Gráfico elaborado para a resolução.

b) Potência da lâmpada. Usando $P=RI^2$, $I=\sqrt{4{,}5/50}=0{,}3\,\mathrm A$. O dispositivo está no segundo trecho, com $V_D=40\,\mathrm V$, e a lâmpada recebe $V_R=50\cdot0{,}3=15\,\mathrm V$. Logo, $\varepsilon=40+15=55\,\mathrm V$. Não se deve aplicar a potência da lâmpada à tensão total da fonte.

Resposta: a) $\varepsilon=150I$ para $0\le I\le0{,}2\,\mathrm A$ e $\varepsilon=250I-20$ para $0{,}2\le I\le0{,}3\,\mathrm A$, com tensão em volts. b) $\varepsilon=55\,\mathrm V$.

Termologia — Termodinâmica — Dissipação por atrito em sistema termicamente isolado

No interior de uma caixa de paredes impermeáveis ao calor foi feito vácuo e montado um experimento, sendo utilizados um bloco, uma mesa e uma mola de constante elástica $k$, conforme ilustrado na figura. O bloco e a mesa possuem, respectivamente, capacidades térmicas $C_b$ e $C_m$ e a capacidade térmica da mola é desprezível. Todo o sistema está em equilíbrio térmico a uma temperatura inicial $T_0$. A mola é inicialmente comprimida de $x_0$, a partir da configuração relaxada e, então, o bloco é liberado para oscilar. Existe atrito entre a mesa e o bloco, mas o atrito entre a mesa e o piso da caixa é desprezível. O bloco oscila com amplitude decrescente, até que para a uma distância $ax_0$ do ponto de equilíbrio, sendo $0

Bloco ligado a mola sobre mesa móvel, em caixa termicamente isolada.

Determine:

a) as temperaturas finais da mesa e do bloco, após esse bloco parar de oscilar e o sistema atingir o equilíbrio térmico;

b) a razão entre a variação da energia interna da mesa e a variação da energia interna do bloco, no equilíbrio térmico;

c) a variação da posição do centro de massa do sistema composto pelo bloco, mola e mesa, quando esse bloco para de oscilar.

a) $T_f=T_0+kx_0^2(1-a^2)/[2(C_m+C_b)]$ para mesa e bloco. b) $\Delta U_m/\Delta U_b=C_m/C_b$. c) $\Delta x_{CM}=0$.

Resolução comentada

a) Conservação da energia total. A caixa não troca calor com o exterior. O atrito interno transforma parte da energia mecânica em energia interna, mas a energia total do sistema é conservada. A energia elástica inicial é $E_i=\tfrac12kx_0^2$. Ao final, ainda há deformação na mola: $E_f=\tfrac12k(ax_0)^2$.

A energia convertida em energia interna é $\Delta U_m+\Delta U_b=E_i-E_f=\tfrac12kx_0^2(1-a^2)$. Como ambos começam em $T_0$ e chegam à mesma temperatura $T_f$, temos $(C_m+C_b)(T_f-T_0)=\tfrac12kx_0^2(1-a^2)$.

Logo, para a mesa e para o bloco, $T_f=T_0+kx_0^2(1-a^2)/[2(C_m+C_b)]$. O numerador tem unidade de energia e as capacidades térmicas, de energia por kelvin; o quociente é uma variação de temperatura. Nem toda a energia inicial vira energia interna, pois a mola continua deformada.

b) Partilha da energia interna. As duas partes têm a mesma variação de temperatura. Assim, $\Delta U_m=C_m\Delta T$ e $\Delta U_b=C_b\Delta T$, de onde $\Delta U_m/\Delta U_b=C_m/C_b$.

c) Centro de massa. Não há força externa horizontal resultante sobre bloco, mola e mesa, pois o atrito com o piso é desprezível. Como o sistema começa em repouso, seu centro de massa permanece em repouso: $\Delta x_{CM}=0$. O atrito entre bloco e mesa é uma força interna e não desloca o centro de massa do conjunto.

Resposta: a) $T_f=T_0+kx_0^2(1-a^2)/[2(C_m+C_b)]$ para mesa e bloco. b) $\Delta U_m/\Delta U_b=C_m/C_b$. c) $\Delta x_{CM}=0$.

Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão inelástica e leitura de gráfico posição-tempo

A figura mostra as posições de dois carrinhos, I e II, como função do tempo, numa experiência de colisão sobre um trilho de ar horizontal. A posição do carrinho I corresponde aos círculos e a do carrinho II aos quadrados.

Dois carrinhos I e II sobre trilho de ar.

Gráfico posição-tempo: carrinho I avança antes da colisão, II está parado; depois ambos têm a mesma inclinação.

Determine:

a) as velocidades dos carrinhos I e II antes e depois da colisão;

b) a razão entre as massas dos carrinhos I e II;

c) a razão entre as energias cinéticas final e inicial do sistema.

a) Antes: $v_I=4\,\mathrm{cm/s}$ e $v_{II}=0$; depois: $v_I=v_{II}=1\,\mathrm{cm/s}$. b) $m_I/m_{II}=1/3$. c) $E_{c,f}/E_{c,i}=1/4$.

Resolução comentada

a) Inclinações das retas. No gráfico posição-tempo, a velocidade é $v=\Delta x/\Delta t$. Antes da colisão, entre $0$ e $0{,}5\,\mathrm s$, I avança $2\,\mathrm{cm}$ e II não muda de posição. Logo, $v_{I,i}=2/0{,}5=4\,\mathrm{cm/s}$ e $v_{II,i}=0$.

Após a colisão, entre $0{,}9$ e $1{,}4\,\mathrm s$, cada carrinho avança $0{,}5\,\mathrm{cm}$. Portanto, $v_{I,f}=v_{II,f}=0{,}5/0{,}5=1\,\mathrm{cm/s}$, no mesmo sentido do movimento inicial de I.

b) Conservação da quantidade de movimento. Como o trilho é horizontal e o atrito é desprezível, conserva-se o momento linear do conjunto: $m_I\cdot4+m_{II}\cdot0=(m_I+m_{II})\cdot1$. As velocidades estão todas na mesma unidade, que pode ser cancelada. Assim, $3m_I=m_{II}$ e $m_I/m_{II}=1/3$.

c) Energia cinética. A razão é $E_{c,f}/E_{c,i}=[\tfrac12(m_I+m_{II})1^2]/[\tfrac12m_I4^2]$. Substituindo $m_{II}=3m_I$, resulta $4m_I/(16m_I)=1/4$. Restam 25% da energia cinética inicial; a igualdade das velocidades finais é compatível com uma colisão totalmente inelástica.

Resposta: a) Antes: $v_I=4\,\mathrm{cm/s}$ e $v_{II}=0$; depois: $v_I=v_{II}=1\,\mathrm{cm/s}$. b) $m_I/m_{II}=1/3$. c) $E_{c,f}/E_{c,i}=1/4$.

Termologia — Gases — Pressão e massa de gás em transformação isotérmica

Um cilindro de volume $V$, inicialmente aberto, é colocado sobre uma balança. A tara da balança é então ajustada para que a leitura seja zero. O cilindro é fechado e ligado a uma bomba com um manômetro acoplado para medir a pressão do ar no seu interior. É, então, bombeado ar para o interior desse cilindro e a pressão ($P$) como função da variação da massa $\Delta m$ registrada através da leitura da balança é ilustrada no gráfico.

Gráfico P versus Δm é uma reta crescente que passa por (0,P0).

Considere o ar, durante toda a experiência, como um gás ideal cuja massa molecular é $M$. O volume $V$ e a temperatura $T$ do cilindro são mantidos constantes durante toda a experiência, e a pressão atmosférica é $P_0$.

a) Determine a massa inicial de ar ($m_0$) no interior do cilindro em termos de $P_0$, $M$, $V$, $T$ e da constante universal dos gases $R$.

b) Determine o valor de $\Delta m$, correspondente a $P=0$, onde a reta ilustrada na figura corta o eixo horizontal.

c) Mostre como ficaria o gráfico $P\times\Delta m$, se a experiência fosse realizada a uma temperatura $T_1

a) $m_0=P_0MV/(RT)$. b) $\Delta m=-m_0=-P_0MV/(RT)$. c) Reta com menor inclinação, passando por $(0,P_0)$ e com intercepto horizontal mais negativo.

Resolução comentada

a) Estado inicial. O cilindro aberto contém ar à pressão atmosférica $P_0$. Pela equação do gás ideal, $P_0V=n_0RT$. Usando $n_0=m_0/M$, resulta $m_0=P_0MV/(RT)$. Para ser compatível com a constante universal $R$, a grandeza $M$ deve ser expressa como massa molar, como é usada no padrão oficial.

b) Equação da reta. Após a entrada de massa $\Delta m$, o cilindro contém $m_0+\Delta m$ de ar. Assim, $P=(m_0+\Delta m)RT/(MV)=P_0+[RT/(MV)]\Delta m$. No intercepto horizontal, $P=0$, de onde $\Delta m=-P_0MV/(RT)=-m_0$.

O intercepto é uma extrapolação da reta para a retirada de toda a massa inicial de ar. A leitura zero da balança não indica ausência inicial de gás: a tara inclui o cilindro e o ar que já estava dentro dele.

c) Temperatura menor. Repetindo o experimento com o cilindro inicialmente aberto à mesma pressão $P_0$, mas a $T_1

A massa inicial aumenta: $m_0^{(1)}=P_0MV/(RT_1)>m_0$. Por isso, o novo intercepto é $-m_0^{(1)}$, mais à esquerda que $-m_0$. Não se deve manter a mesma massa inicial ao comparar experiências que começam à mesma pressão e a temperaturas diferentes.

Comparação das temperaturas elaborada para a resolução.

Resposta: a) $m_0=P_0MV/(RT)$. b) $\Delta m=-m_0=-P_0MV/(RT)$. c) Reta com menor inclinação, passando por $(0,P_0)$ e com intercepto horizontal mais negativo.

UFF | 2010 · 2ª etapa

Dados da prova