Provas Anteriores | UFF 2004 — 2ª etapa

Termologia — Termodinâmica — Trabalho em diagrama pressão–volume e primeira lei

Um mol de um gás ideal é levado do estado A para o estado B, de acordo com o processo representado no diagrama — pressão versus volume — conforme figura abaixo:

Segmento reto de A em volume VA e pressão PA até B em volume 2 VA e pressão PA sobre 2

a) determine a razão \(T_A/T_B\) entre as temperaturas do gás, nos estados A e B.

Considere \(W\) como sendo o trabalho realizado pelo gás, \(\Delta U\) sua variação de energia interna e \(Q\) a quantidade de calor absorvida pelo gás, ao passar do estado A para o estado B, seguindo o processo representado no diagrama.

Dados \(P_A\) e \(V_A\), calcule:

b) \(W\)

c) \(\Delta U\)

d) \(Q\)

a) \(1\). b) \(3P_AV_A/4\). c) \(0\). d) \(3P_AV_A/4\).

Resolução comentada

a) Pela equação de estado, \(T_A/T_B=P_AV_A/(P_BV_B)\). Do gráfico, \(P_B=P_A/2\) e \(V_B=2V_A\), então a razão vale 1.

b) O trabalho na expansão é a área sob o trecho reto. A área do trapézio é \(W=(P_A+P_A/2)(2V_A-V_A)/2=3P_AV_A/4\).

c) A energia interna do gás ideal depende da temperatura. Como as temperaturas inicial e final são iguais, \(\Delta U=0\). A igualdade nos extremos não exige temperatura constante ao longo do trajeto.

d) Com a convenção do enunciado, \(\Delta U=Q-W\). Logo \(Q=W=3P_AV_A/4\).

Resposta: a) \(1\). b) \(3P_AV_A/4\). c) \(0\). d) \(3P_AV_A/4\).

Termologia — Calorimetria — Equilíbrio térmico de refrigerante, latas e gelo

Um grupo de amigos se reúne para fazer um churrasco. Levam um recipiente térmico adiabático contendo uma quantidade de gelo a \(-4\,^\circ\mathrm C\) e 60 latas com \(350\,\mathrm{mL}\) de refrigerante, cada uma. As latas são de alumínio e quando foram colocadas no recipiente estavam a uma temperatura de \(22\,^\circ\mathrm C\).

Considere que a densidade e o calor específico do refrigerante sejam, aproximadamente, iguais aos da água.

Sabendo-se que, no equilíbrio térmico, a temperatura no interior do recipiente adiabático é \(2\,^\circ\mathrm C\), calcule:

a) a quantidade de calor cedida pelas latas e pelo refrigerante;

b) a massa de gelo, em quilogramas, que foi colocada no recipiente.

Dados: \(c_g\approx0{,}50\,\mathrm{cal/(g\,^\circ C)}\), \(c_a\approx1{,}0\,\mathrm{cal/(g\,^\circ C)}\), \(c_{\rm Al}\approx0{,}22\,\mathrm{cal/(g\,^\circ C)}\), calor latente de fusão do gelo \(L\approx80\,\mathrm{cal/g}\), massa de alumínio em cada lata \(m_{\rm lata}\approx30\,\mathrm g\), densidade da água \(\rho_a\approx1{,}0\,\mathrm{g/cm^3}\).

a) Cerca de \(4{,}3\times10^5\,\mathrm{cal}\). b) Cerca de \(5{,}1\,\mathrm{kg}\).

Resolução comentada

a) As 60 latas contêm \(60\cdot350=21000\,\mathrm g\) de refrigerante e \(60\cdot30=1800\,\mathrm g\) de alumínio. Cada material esfria \(20\,^\circ\mathrm C\). A soma dos calores cedidos é \(Q=(21000\cdot1{,}0+1800\cdot0{,}22)\cdot20=427920\,\mathrm{cal}\).

b) O equilíbrio a \(2\,^\circ\mathrm C\) indica que todo o gelo derreteu. Por grama, ele absorve \(0{,}50\cdot4+80+1{,}0\cdot2=84\,\mathrm{cal}\), para aquecer até zero, fundir e aquecer a água. No recipiente adiabático, esse calor vem das latas e do refrigerante. Assim, \(m=427920/84\approx5094\,\mathrm g\), cerca de \(5{,}1\,\mathrm{kg}\).

Resposta: a) Cerca de \(4{,}3\times10^5\,\mathrm{cal}\). b) Cerca de \(5{,}1\,\mathrm{kg}\).

Óptica — Lentes — Imagem final e feixe emergente em luneta de Galileu

Uma pequena luneta consiste em uma lente objetiva convergente de distância focal \(f_0=35\,\mathrm{cm}\) e de uma lente ocular divergente de distância focal \(f_1=-5{,}0\,\mathrm{cm}\). As duas lentes estão separadas por uma distância \(d=30\,\mathrm{cm}\), como ilustrado na figura. Um objeto é colocado sobre o eixo óptico da luneta, à esquerda da objetiva, distando \(x\) da mesma.

Objeto à esquerda da objetiva convergente e ocular divergente à direita

a) Calcule a posição da imagem final desse objeto, medida em relação ao centro da lente ocular, quando \(x=40\,\mathrm{cm}\).

b) Considere um feixe de raios paralelos de luz incidente na objetiva. Complete o diagrama de raios, na figura que se encontra no espaço reservado para sua resposta, representando suas trajetórias no interior da luneta e indicando claramente a direção em que emergem da ocular (a figura foi ampliada na direção transversal ao eixo óptico da luneta para facilitar seu desenho).

a) \(5{,}1\,\mathrm{cm}\) à esquerda da ocular. b) Os raios emergem paralelos ao eixo.

Resolução comentada

a) Pela equação da lente delgada, \(1/q_0=1/35-1/40\), em \(\mathrm{cm}^{-1}\). A objetiva sozinha formaria a imagem a \(q_0=280\,\mathrm{cm}\) à sua direita. A ocular intercepta o feixe convergente \(250\,\mathrm{cm}\) antes desse ponto. Para a ocular o objeto é virtual, então \(p_1=-250\,\mathrm{cm}\). Aplicando \(1/q_1=1/f_1-1/p_1\), obtém-se \(q_1\approx-5{,}1\,\mathrm{cm}\), imagem virtual à esquerda da ocular.

b) Raios incidentes paralelos ao eixo convergiriam no foco da objetiva. Esse ponto fica \(35-30=5\,\mathrm{cm}\) à direita da ocular, exatamente a distância focal em módulo. A ocular intercepta os raios nesse arranjo e os faz sair paralelos ao eixo.

Diagrama oficial com raios convergentes entre as lentes e paralelos após a ocular

Resposta: a) \(5{,}1\,\mathrm{cm}\) à esquerda da ocular. b) Os raios emergem paralelos ao eixo.

Mecânica — Quantidade de movimento — Colisão elástica e frenagem de bloco por atrito

No brinquedo ilustrado na figura, o bloco de massa \(m\) encontra-se em repouso sobre uma superfície horizontal e deve ser impulsionado para tentar atingir a caçapa, situada a uma distância \(x=1{,}5\,\mathrm m\) do bloco. Para impulsioná-lo, utiliza-se um pêndulo de mesma massa \(m\). O pêndulo é abandonado de uma altura \(h=20\,\mathrm{cm}\) em relação à sua posição de equilíbrio e colide elasticamente com o bloco no instante em que passa pela posição vertical. Considerando a aceleração da gravidade \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\), calcule:

Pêndulo de massa m, bloco de mesma massa e caçapa a distância x

a) a velocidade da massa \(m\) do pêndulo imediatamente antes da colisão;

b) a velocidade do bloco imediatamente após a colisão;

c) a distância percorrida pelo bloco, sobre a superfície horizontal, supondo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e essa superfície seja \(\mu=0{,}20\) e verifique se o bloco atinge a caçapa.

a) \(2{,}0\,\mathrm{m/s}\). b) \(2{,}0\,\mathrm{m/s}\). c) \(1{,}0\,\mathrm m\), insuficiente para chegar à caçapa.

Resolução comentada

a) Antes da colisão, a tensão do fio não realiza trabalho e a energia potencial perdida vira cinética. De \(mgh=mv^2/2\), segue \(v=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}20}=2{,}0\,\mathrm{m/s}\).

b) No choque frontal elástico, conservam-se o momento horizontal e a energia cinética. Para massas iguais, \(v=u+V\) e \(v^2=u^2+V^2\), onde \(u\) e \(V\) são as velocidades finais do pêndulo e do bloco. Elevando a primeira equação ao quadrado e comparando, \(2uV=0\). Como o bloco recebe velocidade, \(u=0\) e \(V=v=2{,}0\,\mathrm{m/s}\).

c) O atrito retira toda a energia cinética do bloco ao longo da distância \(s\). De \(\mu mgs=mV^2/2\), resulta \(s=4/(2\cdot0{,}20\cdot10)=1{,}0\,\mathrm m\). A caçapa está a \(1{,}5\,\mathrm m\).

Resposta: a) \(2{,}0\,\mathrm{m/s}\). b) \(2{,}0\,\mathrm{m/s}\). c) \(1{,}0\,\mathrm m\), insuficiente para chegar à caçapa.

Mecânica — Trabalho e energia — Queda de elevador com atrito e compressão de mola

Um elevador de massa \(M\) encontra-se em repouso quando seu cabo de sustentação rompe-se. O elevador cai de uma altura \(h\) até atingir uma mola amortecedora, situada no fundo do poço, comprimindo-a. Durante a queda, um sistema de segurança pressiona as guias do elevador contra os trilhos laterais, provocando uma força de atrito resultante, constante, de valor igual a \(F\) (menor que o peso do elevador). Sabendo-se que a aceleração da gravidade é \(g\), calcule em função de \(M\), \(h\), \(F\) e \(g\):

Elevador acima da mola, com queda de altura h antes da compressão y

a) a aceleração do elevador após o rompimento do cabo;

b) a velocidade do elevador ao atingir a mola.

Suponha que a mola seja ideal e que a força de atrito não atue durante a compressão da mesma. Desprezando as perdas de energia no choque do elevador com a mola e sabendo-se que a compressão máxima sofrida pela mesma é \(y\) calcule:

c) a variação da energia potencial gravitacional do elevador entre o instante do choque com a mola e o instante em que esta atinge sua compressão máxima;

d) a constante elástica da mola.

a) \(g-F/M\), para baixo. b) \(\sqrt{2h(g-F/M)}\). c) \(-Mgy\). d) \(2[(Mg-F)h+Mgy]/y^2\).

Resolução comentada

a) Escolhendo o sentido de descida como positivo, o peso \(Mg\) aponta para baixo e o atrito \(F\) para cima. Assim, \(Ma=Mg-F\).

b) Até tocar a mola, o trabalho da resultante é \((Mg-F)h\). Como o elevador parte do repouso, \(Mv^2/2=(Mg-F)h\), logo \(v=\sqrt{2h(g-F/M)}\).

c) Durante a compressão o elevador baixa mais \(y\), portanto \(\Delta U_g=-Mgy\).

d) Sem atrito na compressão, a energia cinética ao tocar a mola e o trabalho adicional do peso são armazenados na mola. Na compressão máxima, \(ky^2/2=Mv^2/2+Mgy\). Substituindo o resultado do item b, \(k=2[(Mg-F)h+Mgy]/y^2\).

Resposta: a) \(g-F/M\), para baixo. b) \(\sqrt{2h(g-F/M)}\). c) \(-Mgy\). d) \(2[(Mg-F)h+Mgy]/y^2\).

Mecânica — Estática — Equilíbrio de uma haste homogênea com massas suspensas

Dois blocos de massa \(M_1=6{,}0\,\mathrm{kg}\) e \(M_2=0{,}40\,\mathrm{kg}\) estão suspensos, por fios de massas desprezíveis, nas extremidades de uma haste homogênea e horizontal. O conjunto está em equilíbrio estático apoiado sobre um suporte em forma de cunha, como ilustrado na figura. As marcas na haste indicam segmentos de mesmo comprimento.

Haste com apoio a um segmento da massa 1 e a cinco segmentos da massa 2

a) Calcule a massa da haste.

b) Calcule a força que o suporte exerce sobre a haste, considerando a aceleração da gravidade local \(g=10\,\mathrm{m/s^2}\).

a) \(2{,}0\,\mathrm{kg}\). b) \(84\,\mathrm N\), para cima.

Resolução comentada

a) A haste homogênea tem centro de massa no meio. As marcas mostram que, em relação ao apoio, a massa 1 fica a \(\ell\) à esquerda, o centro da haste a \(2\ell\) à direita e a massa 2 a \(5\ell\) à direita. Equilibrando os torques em torno do apoio, \(M_1g\ell=Mg(2\ell)+M_2g(5\ell)\). Logo \(M=(6{,}0-5\cdot0{,}40)/2=2{,}0\,\mathrm{kg}\).

b) Para equilibrar as forças verticais, o suporte exerce para cima a soma dos pesos, \(F=(6{,}0+2{,}0+0{,}40)\cdot10=84\,\mathrm N\).

Resposta: a) \(2{,}0\,\mathrm{kg}\). b) \(84\,\mathrm N\), para cima.

Eletricidade — Eletrostática — Campo e trabalho elétrico entre equipotenciais

A figura abaixo representa algumas superfícies equipotenciais na região entre duas placas planas e paralelas, separadas por uma distância \(d=6{,}0\,\mathrm{cm}\) muito menor que as dimensões lineares das mesmas. As placas estão ligadas aos terminais de uma bateria de \(12\,\mathrm V\). Os pontos L, M e N indicam algumas posições específicas entre as placas.

Equipotenciais entre duas placas ligadas a 12 volts, com M e N a 2 volts e L a 6 volts

a) Estime o valor do campo elétrico no ponto M.

b) Estime o valor da força elétrica que atua sobre uma carga \(q_0=-2{,}0\times10^{-6}\,\mathrm C\) colocada em M e indique, na figura que se encontra no espaço reservado para a sua resposta, sua direção e sentido.

Calcule o trabalho realizado pela força elétrica quando essa carga é deslocada entre os pontos

c) M e N

d) M e L

a) Cerca de \(200\,\mathrm{V/m}\). b) \(4{,}0\times10^{-4}\,\mathrm N\), para a placa positiva. c) \(0\). d) \(8{,}0\times10^{-6}\,\mathrm J\).

Resolução comentada

a) Perto de M, longe das bordas, o campo é aproximadamente uniforme e perpendicular às placas, da positiva para a negativa. Seu módulo é \(E\approx|\Delta V|/d=12/0{,}060=200\,\mathrm{V/m}\).

b) Pela relação \(\vec F=q_0\vec E\), a carga negativa sofre força no sentido oposto ao campo, para a placa positiva à esquerda. O módulo é \(2{,}0\times10^{-6}\cdot200=4{,}0\times10^{-4}\,\mathrm N\).

Seta da força em M apontando para a placa positiva à esquerda

c) O trabalho da força elétrica é \(W_{M\to N}=q_0(V_M-V_N)\). M e N estão na mesma equipotencial, então o trabalho é zero.

d) A figura indica \(V_M=2\,\mathrm V\) e \(V_L=6\,\mathrm V\). Logo \(W_{M\to L}=(-2{,}0\times10^{-6})(2-6)=8{,}0\times10^{-6}\,\mathrm J\).

Resposta: a) Cerca de \(200\,\mathrm{V/m}\). b) \(4{,}0\times10^{-4}\,\mathrm N\), para a placa positiva. c) \(0\). d) \(8{,}0\times10^{-6}\,\mathrm J\).

Eletricidade — Eletrodinâmica — Resistência interna e corrente de curto-circuito de pilha

Para determinar a resistência interna \(r\) de uma pilha, de força eletromotriz \(\varepsilon=1{,}50\,\mathrm V\), um estudante monta o circuito abaixo. Ele utiliza um resistor de resistência \(R\), um voltímetro V e um amperímetro A.

Pilha real e chave com posição 1 pelo resistor R e posição 2 por um fio direto

Com a chave S fechada na posição (1), o voltímetro e o amperímetro fornecem, respectivamente, as seguintes leituras: \(1{,}45\,\mathrm V\) e \(0{,}50\,\mathrm A\). Considerando o voltímetro e o amperímetro como sendo ideais e a resistência dos fios conectores desprezível,

a) calcule a resistência interna r da pilha;

b) calcule a resistência R;

c) faça uma previsão de qual será a leitura no voltímetro quando a chave S estiver aberta, justificando sua resposta;

d) determine as leituras no amperímetro e no voltímetro quando a chave S estiver fechada na posição (2).

a) \(0{,}10\,\Omega\). b) \(2{,}90\,\Omega\). c) \(1{,}50\,\mathrm V\). d) \(15{,}0\,\mathrm A\) e \(0\,\mathrm V\).

Resolução comentada

a) Na posição 1, a pilha fornece corrente e a tensão nos terminais é \(V=\varepsilon-rI\). Assim, \(r=(1{,}50-1{,}45)/0{,}50=0{,}10\,\Omega\).

b) Na posição 1, a tensão de \(1{,}45\,\mathrm V\) está aplicada ao resistor externo e sua corrente é \(0{,}50\,\mathrm A\). Pela lei de Ohm, \(R=1{,}45/0{,}50=2{,}90\,\Omega\).

c) Com a chave aberta, o voltímetro ideal não drena corrente. Como \(I=0\), a queda interna é nula e \(V=\varepsilon=1{,}50\,\mathrm V\).

d) Na posição 2, a chave fecha o circuito pelo caminho de resistência externa nula. A corrente do modelo ideal fica limitada pela resistência interna, \(I=\varepsilon/r=1{,}50/0{,}10=15{,}0\,\mathrm A\). Os terminais estão em curto, e o voltímetro lê \(0\,\mathrm V\).

Resposta: a) \(0{,}10\,\Omega\). b) \(2{,}90\,\Omega\). c) \(1{,}50\,\mathrm V\). d) \(15{,}0\,\mathrm A\) e \(0\,\mathrm V\).

UFF | 2004 · 2ª etapa

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